Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- а) \(x=\frac12\); б) \(x=4\).
- а) \(x=\frac52\); б) \(x=\frac45\).
- а) \(x=0\); б) \(x=3\).
- \(x=0\) или \(x=1\).
- \(x=-4\) или \(x=3\).
Решение
1а) \(4^x-1=1\)
\[ 4^x=2. \]
Так как \(4=2^2\), получаем:
\[ 2^{2x}=2^1 \quad\Rightarrow\quad 2x=1. \]
\[ \boxed{x=\frac12} \]
Проверка:
\[ 4^{1/2}-1=2-1=1. \]
1б) \(\left(\frac13\right)^x=\frac1{81}\)
\[ 81=3^4,\qquad \frac1{81}=\left(\frac13\right)^4. \]
Значит,
\[ \left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^4, \]
поэтому
\[ \boxed{x=4}. \]
2а) \(2\cdot4^x=64\)
\[ 4^x=32. \]
Представим числа как степени двойки:
\[ (2^2)^x=2^5, \]
\[ 2^{2x}=2^5 \quad\Rightarrow\quad 2x=5. \]
\[ \boxed{x=\frac52} \]
2б) \(10^x=\sqrt[5]{10000}\)
\[ 10000=10^4, \]
поэтому
\[ \sqrt[5]{10000}=\sqrt[5]{10^4}=10^{4/5}. \]
Тогда
\[ 10^x=10^{4/5}, \]
\[ \boxed{x=\frac45}. \]
3а) \(5^x=8^x\)
\[ \left(\frac58\right)^x=1. \]
Степень числа, не равного \(1\), равна \(1\) только при нулевом показателе:
\[ \boxed{x=0}. \]
Проверка: \(5^0=8^0=1\).
3б) \(3^{x-1}-3^x+3^{x+1}=63\)
Вынесем \(3^{x-1}\) за скобки:
\[ 3^{x-1}(1-3+9)=63. \]
\[ 7\cdot3^{x-1}=63, \]
\[ 3^{x-1}=9=3^2. \]
Следовательно,
\[ x-1=2, \]
\[ \boxed{x=3}. \]
Проверка:
\[ 3^2-3^3+3^4=9-27+81=63. \]
4) \(25^x-6\cdot5^x+5=0\)
Так как \(25^x=(5^2)^x=(5^x)^2\), введём замену:
\[ t=5^x,\qquad t>0. \]
Получим квадратное уравнение:
\[ t^2-6t+5=0. \]
\[ (t-1)(t-5)=0. \]
Отсюда:
\[ t=1 \quad\text{или}\quad t=5. \]
Возвращаемся к \(t=5^x\):
\[ 5^x=1 \Rightarrow x=0, \]
\[ 5^x=5 \Rightarrow x=1. \]
\[ \boxed{x=0;\ 1} \]
Проверка:
\[ 25^0-6\cdot5^0+5=1-6+5=0, \]
\[ 25^1-6\cdot5^1+5=25-30+5=0. \]
5) \(3^{x^2+x-12}=1\)
Так как \(3^0=1\), показатель степени должен быть равен нулю:
\[ x^2+x-12=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+4)(x-3)=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x=-4\ \text{или}\ x=3}. \]
Проверка:
\[ (-4)^2-4-12=0,\qquad 3^2+3-12=0. \]
Почему в №4 удобно вводить замену t = 5^x?
