Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) \(x=1\); б) \(x=4\).
- а) \(x=\dfrac52\); б) \(x=\dfrac45\).
- а) \(x=0\); б) \(x=3\).
- \(x=0\) или \(x=1\).
- \(x=-4\) или \(x=3\).
Решение
1а)
\[ 4^{x-1}=1 \]
Так как \(4^0=1\), при основании \(4\neq1\) показатель должен быть равен нулю:
\[ x-1=0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=1}. \]
Проверка: \(4^{1-1}=4^0=1\).
1б)
\[ \left(\frac13\right)^x=\frac1{81} \]
Представим правую часть в виде степени:
\[ \frac1{81}=\frac1{3^4}=\left(\frac13\right)^4. \]
Основания одинаковые, значит, равны показатели:
\[ x=4. \]
\[ \boxed{x=4} \]
2а)
\[ 2\cdot4^x=64 \]
Представим все числа как степени двойки:
\[ 2\cdot 4^x=2^1\cdot(2^2)^x=2^{1+2x}, \qquad 64=2^6. \]
Тогда
\[ 1+2x=6, \]
\[ 2x=5,\qquad \boxed{x=\frac52}. \]
Проверка:
\[ 2\cdot4^{5/2}=2\cdot32=64. \]
2б)
\[ 10^x=\sqrt[5]{10000} \]
Так как \(10000=10^4\), то
\[ \sqrt[5]{10000}=\sqrt[5]{10^4}=10^{4/5}. \]
Следовательно,
\[ 10^x=10^{4/5}, \qquad \boxed{x=\frac45}. \]
3а)
\[ 5^x=8^x \]
Разделим на \(8^x\):
\[ \left(\frac58\right)^x=1. \]
Основание \(\frac58\neq1\), поэтому показатель равен нулю:
\[ \boxed{x=0}. \]
Проверка: \(5^0=8^0=1\).
3б)
\[ 3^{x-1}-3^x+3^{x+1}=63 \]
Вынесем \(3^{x-1}\):
\[ 3^{x-1}(1-3+9)=63, \]
\[ 7\cdot3^{x-1}=63, \]
\[ 3^{x-1}=9=3^2. \]
Значит,
\[ x-1=2,\qquad \boxed{x=3}. \]
Проверка:
\[ 3^2-3^3+3^4=9-27+81=63. \]
4)
\[ 25^x-6\cdot5^x+5=0 \]
Поскольку \(25^x=(5^2)^x=(5^x)^2\), введём замену:
\[ t=5^x,\qquad t>0. \]
Получаем квадратное уравнение:
\[ t^2-6t+5=0, \]
\[ (t-1)(t-5)=0. \]
Отсюда:
\[ t=1 \quad\text{или}\quad t=5. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ 5^x=1 \Rightarrow x=0, \]
\[ 5^x=5 \Rightarrow x=1. \]
\[ \boxed{x=0;\ 1} \]
Проверка:
\[ x=0:\quad 1-6+5=0; \]
\[ x=1:\quad 25-30+5=0. \]
5)
\[ 3^{x^2+x-12}=1 \]
Основание \(3\neq1\), поэтому показатель должен быть равен нулю:
\[ x^2+x-12=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+4)(x-3)=0. \]
Отсюда:
\[ x+4=0 \Rightarrow x=-4, \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
\[ \boxed{x=-4;\ 3} \]
Проверка: при обоих значениях показатель равен нулю, поэтому \(3^0=1\).
