Реши задание на изображении

Краткий ответ по всем пунктам, которые видны на фото

1. Выполните сложение или вычитание дробей

1)
а) \(\displaystyle \frac{8x-6}{15}\);

б) \(\displaystyle \frac{3y-7}{12}\);

в) \(\displaystyle \frac{b+c}{14}\);

г) \(\displaystyle \frac{(a-1)^2}{a^2}\), \(a\ne0\);

д) \(\displaystyle \frac{2x-5y}{xy}\), \(x\ne0,\ y\ne0\);

е) \(\displaystyle \frac{b^2-a^2}{ab^2}\), \(a\ne0,\ b\ne0\).

2)
а) \(\displaystyle \frac{x+3y}{6}\), \(y\ne0\);

б) \(\displaystyle \frac{1-a}{14a}\), \(a\ne0,\ b\ne0\).

3)
а) \(\displaystyle \frac{3a-1}{2(a-4)}\), \(a\ne4\);

б) \(\displaystyle \frac{7-x}{6(x-4)}\), \(x\ne4\);

в) \(\displaystyle \frac{7y}{20(y-1)}\), \(y\ne1\).

4)
а) \(\displaystyle \frac{a+b}{ab(a-b)}\), \(a\ne0,\ b\ne0,\ a\ne b\);

б) \(\displaystyle \frac{x^2+2xy+4y^2}{xy}\), \(x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne2y\);

в) \(\displaystyle \frac1{y(y-2)}\), \(y\ne-2,\ 0,\ 2\).

2. Представьте в виде дроби

1)
а) \(\displaystyle \frac{5x^2+1}{x}\), \(x\ne0\);

б) \(\displaystyle \frac{6-2y^2}{y}\), \(y\ne0\);

в) \(\displaystyle -\frac{12a}{2a-3}\), \(a\ne\frac32\);

г) \(\displaystyle \frac{2b^2}{3-b}\), \(b\ne3\).

2)
а) \(\displaystyle \frac{6b+5}{4b-5}\), \(b\ne\frac54\);

б) \(\displaystyle \frac{x(2x-3)}{2x-3}=x\), \(x\ne\frac32\).

Ключевой принцип

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями:

1. Найдите общий знаменатель.
2. Домножьте числители на недостающие множители.
3. Выполните действия в числителе.
4. Разложите на множители и сократите дробь, если это возможно.
5. Ограничения исходных знаменателей сохраняются даже после сокращения.

Разбор задания 1

1.1

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\frac{x}{3}+\frac{x-2}{5} =\frac{5x+3(x-2)}{15} =\frac{8x-6}{15};\\[4pt] \text{б)}\quad &\frac{3y-2}{6}-\frac{y+1}{4} =\frac{2(3y-2)-3(y+1)}{12} =\frac{3y-7}{12};\\[4pt] \text{в)}\quad &-\frac{b-c}{7}+\frac{3b-c}{14} =\frac{-2(b-c)+(3b-c)}{14} =\frac{b+c}{14};\\[4pt] \text{г)}\quad &\frac1{a^2}+\frac{a-2}{a} =\frac{1+a(a-2)}{a^2} =\frac{a^2-2a+1}{a^2} =\frac{(a-1)^2}{a^2};\\[4pt] \text{д)}\quad &\frac{3x-5}{x}-\frac{3y-2}{y} =\frac{y(3x-5)-x(3y-2)}{xy} =\frac{2x-5y}{xy};\\[4pt] \text{е)}\quad &\frac{b-a}{ab}-\frac{a-b}{b^2} =\frac{b(b-a)-a(a-b)}{ab^2} =\frac{b^2-a^2}{ab^2}. \end{aligned} \]

1.2

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\frac{(x+y)^2}{6y}+\frac{(x-y)^2}{12y} -\frac{x^2-y^2}{4y}\\ &=\frac{2(x+y)^2+(x-y)^2-3(x^2-y^2)}{12y}\\ &=\frac{2xy+6y^2}{12y} =\frac{x+3y}{6};\\[6pt] \text{б)}\quad &\frac{3a+1}{7a}-\frac{7a+b}{14ab}-\frac{b-1}{2b}\\ &=\frac{2b(3a+1)-(7a+b)-7a(b-1)}{14ab}\\ &=\frac{b(1-a)}{14ab} =\frac{1-a}{14a}. \end{aligned} \]

1.3

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\frac{a-1}{2(a-4)}+\frac{a}{a-4} =\frac{a-1+2a}{2(a-4)} =\frac{3a-1}{2(a-4)};\\[4pt] \text{б)}\quad &\frac{x-1}{3x-12}-\frac{x-3}{2x-8}\\ &=\frac{2(x-1)-3(x-3)}{6(x-4)} =\frac{7-x}{6(x-4)};\\[4pt] \text{в)}\quad &\frac{3y}{4y-4}+\frac{2y}{5-5y}\\ &=\frac{3y}{4(y-1)}-\frac{2y}{5(y-1)} =\frac{15y-8y}{20(y-1)} =\frac{7y}{20(y-1)}. \end{aligned} \]

1.4

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\frac{a+1}{a^2-ab}-\frac{1-b}{b^2-ab}\\ &=\frac{a+1}{a(a-b)}-\frac{b-1}{b(a-b)}\\ &=\frac{b(a+1)-a(b-1)}{ab(a-b)} =\frac{a+b}{ab(a-b)};\\[6pt] \text{б)}\quad &\frac{3x^2-8y^2}{x^2-2xy} -\frac{3xy-x^2}{xy-2y^2}\\ &=\frac{y(3x^2-8y^2)-x(3xy-x^2)} {xy(x-2y)}\\ &=\frac{x^3-8y^3}{xy(x-2y)}\\ &=\frac{(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)} {xy(x-2y)} =\frac{x^2+2xy+4y^2}{xy};\\[6pt] \text{в)}\quad &\frac2{y^2-4}-\frac1{y^2+2y}\\ &=\frac2{(y-2)(y+2)}-\frac1{y(y+2)}\\ &=\frac{2y-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} =\frac1{y(y-2)}. \end{aligned} \]

Разбор задания 2

\[ \begin{aligned} \text{1а)}\quad &5x+\frac1x=\frac{5x^2+1}{x};\\[4pt] \text{1б)}\quad &\frac6y-2y=\frac{6-2y^2}{y};\\[4pt] \text{1в)}\quad &4a-\frac{8a^2}{2a-3} =\frac{4a(2a-3)-8a^2}{2a-3} =-\frac{12a}{2a-3};\\[4pt] \text{1г)}\quad &\frac{6b}{3-b}-2b =\frac{6b-2b(3-b)}{3-b} =\frac{2b^2}{3-b};\\[4pt] \text{2а)}\quad &\frac{8b^2}{4b-5}-2b-1\\ &=\frac{8b^2-(2b+1)(4b-5)}{4b-5} =\frac{6b+5}{4b-5};\\[4pt] \text{2б)}\quad &3x+\frac{3+4x-4x^2}{2x-3}+1\\ &=\frac{(3x+1)(2x-3)+3+4x-4x^2}{2x-3}\\ &=\frac{x(2x-3)}{2x-3} =x. \end{aligned} \]

Проверка, например, пункта 1.4в:

\[ \frac{2y-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} =\frac{y+2}{y(y-2)(y+2)} =\frac1{y(y-2)}. \]

На фото условие задания 3 обрезано: виден только заголовок «Докажите тождество».