Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(x>2\), то есть \(x\in(2;+\infty)\);
- \(x<2\), то есть \(x\in(-\infty;2)\).
\(x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\).
\(x=2\).
\(x\in\left[\frac12;1\right]\).
\(x>1\), то есть \(x\in(1;+\infty)\).
Решение
1.1
\[ 3^x>9=3^2. \] Так как \(3>1\), функция \(3^x\) возрастает, поэтому: \[ x>2. \]
1.2
\[ \left(\frac12\right)^x>\frac14=\left(\frac12\right)^2. \] Основание \(\frac12\) находится между \(0\) и \(1\), поэтому функция убывает, и знак меняется: \[ x<2. \]
2
\[ 3^{x^2-4}\ge1=3^0. \] Так как \(3>1\), сравниваем показатели: \[ x^2-4\ge0, \] \[ x^2\ge4. \] Следовательно: \[ x\le-2\quad\text{или}\quad x\ge2. \]
3
Рассмотрим графики: \[ y=3^x,\qquad y=11-x. \] При \(x=2\): \[ 3^2=9,\qquad 11-2=9. \] Графики пересекаются в точке \((2;9)\). Поскольку \(3^x\) возрастает, а \(11-x\) убывает, пересечение только одно: \[ \boxed{x=2}. \]
4
\[ \left(\frac79\right)^{2x^2-3x}\ge\frac97. \] Представим правую часть через основание \(\frac79\): \[ \frac97=\left(\frac79\right)^{-1}. \] Так как \(0<\frac79<1\), при сравнении показателей знак меняется: \[ 2x^2-3x\le-1. \] \[ 2x^2-3x+1\le0, \] \[ (2x-1)(x-1)\le0. \] Отсюда: \[ \boxed{x\in\left[\frac12;1\right]}. \]
5
\[ 2^{x-1}+2^{x+3}>17. \] Вынесем \(2^{x-1}\): \[ 2^{x-1}(1+2^4)>17, \] \[ 17\cdot2^{x-1}>17. \] Делим на \(17>0\): \[ 2^{x-1}>1=2^0. \] Так как \(2>1\), получаем: \[ x-1>0, \] \[ \boxed{x>1}. \]
Проверка границ: при \(x=1\) в №5 получается \(17>17\), что неверно, поэтому \(x=1\) не входит.
Обсуждение
4 сообщенияРеши максимально просто и понятно
Главное правило
- Если основание степени больше 1, знак сохраняется: \[ 3^a>3^b \Rightarrow a>b. \]
- Если основание находится между \(0\) и \(1\), знак меняется: \[ \left(\frac12\right)^a>\left(\frac12\right)^b \Rightarrow a<b. \]
1.1
\[ 3^x>9 \]
Представим \(9\) как степень тройки:
\[ 9=3^2. \]
Значит,
\[ 3^x>3^2 \Rightarrow x>2. \]
Ответ: \[ \boxed{x>2} \]
1.2
\[ \left(\frac12\right)^x>\frac14 \]
\[ \frac14=\left(\frac12\right)^2. \]
Основание \(\frac12<1\), поэтому знак меняется:
\[ x<2. \]
Ответ: \[ \boxed{x<2} \]
2
\[ 3^{x^2-4}\ge1 \]
Так как
\[ 1=3^0, \]
получаем:
\[ 3^{x^2-4}\ge3^0. \]
Основание \(3>1\), значит:
\[ x^2-4\ge0. \]
\[ x^2\ge4. \]
Следовательно:
\[ x\le-2\quad\text{или}\quad x\ge2. \]
Ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)} \]
3
Нужно найти точку пересечения графиков:
\[ y=3^x,\qquad y=11-x. \]
При \(x=2\):
\[ 3^2=9,\qquad 11-2=9. \]
Значит, графики пересекаются при \(x=2\).
Ответ: \[ \boxed{x=2} \]
4
\[ \left(\frac79\right)^{2x^2-3x}\ge\frac97 \]
Представим правую часть:
\[ \frac97=\left(\frac79\right)^{-1}. \]
Так как \(\frac79<1\), знак меняется:
\[ 2x^2-3x\le-1. \]
Переносим всё в левую часть:
\[ 2x^2-3x+1\le0. \]
Разложим на множители:
\[ (2x-1)(x-1)\le0. \]
Корни:
\[ x=\frac12,\qquad x=1. \]
Поскольку знак «\(\le\)», берём промежуток между корнями:
\[ \boxed{x\in\left[\frac12;1\right]} \]
5
\[ 2^{x-1}+2^{x+3}>17 \]
Вынесем \(2^{x-1}\):
\[ 2^{x-1}(1+2^4)>17. \]
Так как \(2^4=16\), получаем:
\[ 17\cdot2^{x-1}>17. \]
Делим на \(17\):
\[ 2^{x-1}>1. \]
А \(1=2^0\), значит:
\[ 2^{x-1}>2^0. \]
Основание \(2>1\), поэтому:
\[ x-1>0, \]
\[ x>1. \]
Ответ: \[ \boxed{x>1} \]
Итоговые ответы
1.1) \(\boxed{x>2}\)
1.2) \(\boxed{x<2}\)
\(\boxed{x\le-2\text{ или }x\ge2}\)
\(\boxed{x=2}\)
\(\boxed{x\in\left[\frac12;1\right]}\)
\(\boxed{x>1}\)
Построй точки к заданию 3
Для задания 3 нужно построить графики:
\[ y=3^x \quad\text{и}\quad y=11-x. \]
Точки для графика \(y=3^x\)
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=3^x\) | \(\frac13\) | \(1\) | \(3\) | \(9\) | \(27\) |
Точки:
\[ \left(-1;\frac13\right),\ (0;1),\ (1;3),\ (2;9),\ (3;27). \]
Точки для графика \(y=11-x\)
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=11-x\) | \(12\) | \(11\) | \(10\) | \(9\) | \(8\) |
Точки:
\[ (-1;12),\ (0;11),\ (1;10),\ (2;9),\ (3;8). \]
Отметь точки на координатной плоскости и соедини:
- точки \(y=3^x\) плавной кривой;
- точки \(y=11-x\) прямой.
Графики пересекаются в общей точке:
\[ \boxed{(2;9)}. \]
Значит, ответ:
\[ \boxed{x=2}. \]
