Реши задание на изображении
Решение математических задач
Я внимательно разбираю ряд задач, связанных с неравенствами и степенями. В первой задаче я установил, что для \(3^{x^2-4} \geq 1\) решением является \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\).
В другой задаче, с \((1/2)^x > 1/4\), я получаю \(x < 2\). Для \(3^x > 3^2\) я определяю, что \(x > 2\).
Затем я анализирую \(2^{x-1} + 2^{x+3} = 17 \cdot 2^{x-1}\), что приводит к \(x > 1\). В заключение я рассматриваю графический способ нахождения точек пересечения для \(y = 3^x\) и \(y = 11 - x\).
Краткие ответы:
- \(x>2\);
- \(x<2\).
\(x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\).
\(x=2\).
\(x\in\left[\dfrac12;1\right]\).
\(x>1\).
Решение
1.1) \(3^x>9\)
Представим \(9\) как степень числа \(3\):
\[ 9=3^2. \]
Так как основание \(3>1\), функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:
\[ 3^x>3^2 \quad\Longrightarrow\quad x>2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x>2}. \]
1.2) \(\left(\dfrac12\right)^x>\dfrac14\)
Представим правую часть как степень числа \(\dfrac12\):
\[ \frac14=\left(\frac12\right)^2. \]
Основание \(0<\dfrac12<1\), поэтому функция убывает и знак неравенства меняется:
\[ \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^2 \quad\Longrightarrow\quad x<2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x<2}. \]
2. \(3^{x^2-4}\ge 1\)
Так как
\[ 1=3^0, \]
а основание \(3>1\), то
\[ x^2-4\ge 0. \]
Разложим на множители:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2)\ge0. \]
Произведение неотрицательно за пределами корней:
\[ x\le -2 \quad\text{или}\quad x\ge2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)}. \]
3. \(3^x=11-x\)
Рассматриваем графики функций:
\[ y=3^x \quad\text{и}\quad y=11-x. \]
Первая функция возрастает, вторая убывает, поэтому они могут пересечься только один раз.
Проверим \(x=2\):
\[ 3^2=9,\qquad 11-2=9. \]
Значения равны, значит, точка пересечения имеет координаты \((2;9)\).
Ответ:
\[ \boxed{x=2}. \]
4. \(\left(\dfrac79\right)^{2x^2-3x}\ge\dfrac97\)
Заметим:
\[ \frac97=\left(\frac79\right)^{-1}. \]
Получаем:
\[ \left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \left(\frac79\right)^{-1}. \]
Так как
\[ 0<\frac79<1, \]
функция убывает, поэтому показатель степени должен быть не больше:
\[ 2x^2-3x\le -1. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ 2x^2-3x+1\le0. \]
Разложим:
\[ (2x-1)(x-1)\le0. \]
Решение находится между корнями:
\[ \frac12\le x\le1. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left[\frac12;1\right]}. \]
5. \(2^{x-1}+2^{x+3}>17\)
Вынесем \(2^{x-1}\) за скобки:
\[ 2^{x-1}+2^{x+3} = 2^{x-1}(1+2^4) = 17\cdot2^{x-1}. \]
Тогда:
\[ 17\cdot2^{x-1}>17. \]
Делим на \(17>0\):
\[ 2^{x-1}>1. \]
Так как \(1=2^0\), а основание \(2>1\), получаем:
\[ x-1>0, \]
то есть
\[ \boxed{x>1}. \]
Обсуждение
6 сообщенийв 3 составить точки к заданию 3 и если можешь то сделать график
В задании 3 нужно построить графики функций:
\[ y_1=3^x,\qquad y_2=11-x. \]
Таблица точек
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_1=3^x\) | \(\frac19\) | \(\frac13\) | \(1\) | \(3\) | \(9\) | \(27\) |
| \(y_2=11-x\) | \(13\) | \(12\) | \(11\) | \(10\) | \(9\) | \(8\) |
Для построения можно взять основные точки:
- \(y=3^x\): \((0;1),\ (1;3),\ (2;9),\ (3;27)\);
- \(y=11-x\): \((0;11),\ (1;10),\ (2;9),\ (3;8)\).
Схематичный график
y
27 | ● y = 3ˣ
| /
13 | ● /
12 | ● /
11 | ● /
10 | ● /
9 | ●● ← (2; 9)
8 | ●
|
3 | ●
1 | ●
0 +-------------------------------- x
-2 -1 0 1 2 3
Графики пересекаются в точке
\[ (2;9), \]
поэтому решение уравнения:
\[ \boxed{x=2}. \]
не так
Понял, возможно, я неверно прочитал условие. Пришли, пожалуйста, фото пункта 3 ещё раз — я составлю правильные точки и график.
по типу этого но сделай 3 задание
Понял: нужно оформить как на доске — через две функции, таблицы точек и график.
Задание 3
\[ 3^x=11-x \]
Строим графики функций:
\[ y=3^x \qquad\text{и}\qquad y=11-x. \]
1. Таблица для \(y=3^x\)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y=3^x&\frac13&1&3&9&27 \end{array} \]
Точки:
\[ \left(-1;\frac13\right),\quad(0;1),\quad(1;3),\quad(2;9),\quad(3;27). \]
2. Таблица для \(y=11-x\)
\[ \begin{array}{c|cccc} x&0&1&2&3\\ \hline y=11-x&11&10&9&8 \end{array} \]
Точки:
\[ (0;11),\quad(1;10),\quad(2;9),\quad(3;8). \]
Для прямой достаточно отметить две точки, например:
\[ (0;11)\quad\text{и}\quad(2;9), \]
а затем провести через них прямую.
Схема графика
y
27 | ● (3;27)
| /
11 | ● (0;11) /
10 | ● /
9 | ●──────● ← (2;9) — точка пересечения
8 | ●
3 | ● (1;3)
1 | ● (0;1)
0 +-------------------------------- x
-1 0 1 2 3
Графики пересекаются в точке
\[ (2;9). \]
Следовательно,
\[ \boxed{x=2}. \]
Проверка:
\[ 3^2=9,\qquad 11-2=9. \]
