Реши задание на изображении

Краткий ответ

Для функции
\[ y=\frac{x^2-3x+2}{x^2} \] получаем:

• область определения: \(\mathbb R\setminus\{0\}\);
• нули функции: \(x=1\) и \(x=2\);
• вертикальная асимптота: \(x=0\);
• горизонтальная асимптота: \(y=1\);
• минимум: \(\left(\frac43,-\frac18\right)\);
• функция возрастает на \((-\infty,0)\) и \(\left(\frac43,+\infty\right)\), убывает на \(\left(0,\frac43\right)\).

---

1. Преобразуем функцию

Разложим числитель на множители:

\[ y=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2} =1-\frac3x+\frac2{x^2}. \]

Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому

\[ D(y)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

---

2. Нули и знак функции

\[ (x-1)(x-2)=0 \]

Отсюда:

\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]

Так как \(x^2>0\) при \(x\ne0\), знак функции определяется числителем:

\[ \begin{array}{c|cccccc} x&(-\infty,0)&0&(0,1)&1&(1,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline y&+&-&+&0&-&0&+ \end{array} \]

---

3. Асимптоты

При \(x\to0\):

\[ \lim_{x\to0-}y=\lim_{x\to0+}y=+\infty, \]

поэтому вертикальная асимптота:

\[ \boxed{x=0}. \]

При \(x\to\pm\infty\):

\[ \lim_{x\to\pm\infty}y=1, \]

поэтому горизонтальная асимптота:

\[ \boxed{y=1}. \]

---

4. Исследуем возрастание и убывание

Найдём производную:

\[ y'=\left(1-\frac3x+\frac2{x^2}\right)' =\frac3{x^2}-\frac4{x^3} =\frac{3x-4}{x^3}. \]

Критическая точка:

\[ 3x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac43. \]

Знак производной:

• на \((-\infty,0)\): \(y'>0\), функция возрастает;
• на \(\left(0,\frac43\right)\): \(y'<0\), функция убывает;
• на \(\left(\frac43,+\infty\right)\): \(y'>0\), функция возрастает.

Значение в точке минимума:

\[ y\left(\frac43\right) =\frac{\frac{16}{9}-4+2}{\frac{16}{9}} =-\frac18. \]

Следовательно, минимум:

\[ \boxed{\left(\frac43,-\frac18\right)}. \]

---

5. Точки для построения графика

Удобно отметить точки:

\[ \left(\frac23,1\right),\quad (1,0),\quad \left(\frac43,-\frac18\right),\quad (2,0),\quad \left(4,\frac38\right). \]

Также можно взять точку на левой ветви:

\[ f(-2)=3,\qquad (-2,3). \]

Как выглядит график

• При \(x<0\) левая ветвь находится выше оси \(Ox\), возрастает от \(y\approx1\) до \(+\infty\).
• При \(x>0\) график начинается с \(+\infty\), проходит через \((1,0)\), достигает минимума \(\left(\frac43,-\frac18\right)\), затем возрастает, проходит через \((2,0)\) и приближается к прямой \(y=1\) снизу.
• Проведи пунктиром асимптоты \(x=0\) и \(y=1\), затем плавно соедини отмеченные точки.

Проверка: \(f(1)=0\), \(f(2)=0\), а \(f\left(\frac43\right)=-\frac18\), что подтверждает найденные точки.