Тест по предмету «Геометрия» на тему «Теорема косинусов и синусов»

1. В треугольнике \(ABC\) стороны \(a,b,c\) лежат напротив углов \(A,B,C\). Выберите все верные формулы для стороны \(a\).

   A) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

   B) \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

   C) \(a^2=b^2+c^2+2bc\cos A\)

   D) \(\cos A=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

2. Для треугольника \(ABC\) с радиусом описанной окружности \(R\) выберите все верные равенства.

   A) \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\)

   B) \(\dfrac{a}{\sin A}=2R\)

   C) \(\dfrac{a}{\sin A}=R\)

   D) \(\dfrac{\sin A}{a}=2R\)

3. В треугольнике \(ABC\) длины сторон равны \(3\), \(4\) и \(5\), причём сторона \(c=5\). Выберите все верные утверждения.

   A) \(\angle C=90^\circ\)

   B) \(\cos C=0\)

   C) \(\sin C=0\)

   D) \(\angle C=60^\circ\)

4. В треугольнике \(ABC\) \(b=5\), \(c=7\), \(\angle A=60^\circ\). Выберите все верные утверждения о стороне \(a\).

   A) \(a^2=39\)

   B) \(a=\sqrt{39}\)

   C) \(a=39\)

   D) \(a^2=74\)

5. В треугольнике \(ABC\) \(a=6\), \(b=8\), \(c=9\), причём сторона \(c\) лежит напротив угла \(C\). Выберите все верные утверждения.

   A) \(\cos C=\dfrac{19}{96}\)

   B) Угол \(C\) острый.

   C) \(\cos C=\dfrac12\)

   D) Угол \(C\) тупой.

6. В треугольнике \(ABC\) \(a=4\), \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=45^\circ\). Выберите все верные утверждения о стороне \(b\).

   A) \(b=4\sqrt2\)

   B) \(\dfrac{b}{a}=\sqrt2\)

   C) \(b=2\sqrt2\)

   D) \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{\sqrt2}\)

7. В треугольнике \(ABC\) \(a=b=5\), \(\angle A=30^\circ\), а угол \(B\) является острым. Выберите все верные утверждения.

   A) \(\angle B=30^\circ\)

   B) \(\sin B=\dfrac12\)

   C) \(\angle B=150^\circ\)

   D) \(\cos B=\dfrac{\sqrt3}{2}\)

8. В треугольнике \(ABC\) радиус описанной окружности \(R=5\), \(\angle A=30^\circ\). Выберите все верные утверждения о стороне \(a\).

   A) \(a=5\)

   B) \(\dfrac{a}{\sin A}=10\)

   C) \(a=10\)

   D) \(\dfrac{a}{\sin A}=5\)

9. В треугольнике \(ABC\) \(a=7\), \(b=8\), \(c=9\), причём сторона \(c\) лежит напротив угла \(C\). Выберите все верные утверждения.

   A) \(\cos C=\dfrac27\)

   B) Угол \(C\) острый.

   C) Угол \(C\) прямой.

   D) \(\cos C=\dfrac72\)

10. В треугольнике \(ABC\) угол \(C=60^\circ\). Выберите все верные выражения, следующие из теоремы косинусов.

A) \(c^2=a^2+b^2-ab\)

B) \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ\)

C) \(c^2=a^2+b^2+ab\)

D) \(c^2=a^2+b^2\)

11. В треугольнике \(ABC\) \(a=b=5\), \(c=6\). Выберите все верные утверждения о угле \(C\).

A) \(\cos C=\dfrac7{25}\)

B) Угол \(C\) острый.

C) Угол \(C\) прямой.

D) \(\cos C=\dfrac{25}{7}\)

12. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A=45^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(a=\sqrt2\). Выберите все верные утверждения о стороне \(b\).

A) \(b=\sqrt3\)

B) \(\dfrac{b}{\sin60^\circ}=2\)

C) \(b=2\)

D) \(b=\sqrt6\)

13. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=45^\circ\), \(\angle C=105^\circ\). Выберите все верные утверждения.

A) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ}=\dfrac1{\sqrt2}\)

B) Сторона \(c\) — наибольшая сторона треугольника.

C) \(a>b\)

D) \(c<b\)

14. В треугольнике \(ABC\) \(b=4\), \(c=6\), \(\angle A=120^\circ\). Выберите все верные утверждения о стороне \(a\).

A) \(a^2=76\)

B) \(a=2\sqrt{19}\)

C) \(a^2=52\)

D) \(a=\sqrt{19}\)

15. В треугольнике \(ABC\) \(a=6\), \(\angle A=30^\circ\). Выберите все верные утверждения, где \(R\) — радиус описанной окружности.

A) \(R=6\)

B) \(2R=12\)

C) \(R=12\)

D) \(\dfrac{a}{\sin A}=6\)

16. В треугольнике \(ABC\) известны \(A=30^\circ\), \(a=5\), \(b=6\). Выберите все верные утверждения.

A) \(\sin B=0{,}6\)

B) По этим данным могут существовать два различных треугольника.

C) Угол \(B\) обязательно острый.

D) Угол \(B\) обязательно прямой.

17. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A=40^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(\angle C=80^\circ\). Выберите все верные утверждения.

A) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin40^\circ}{\sin60^\circ}\)

B) Сторона \(c\) — наибольшая сторона треугольника.

C) \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sin40^\circ}{\sin60^\circ}\)

D) Сторона \(a\) — наибольшая сторона треугольника.

18. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A=30^\circ\), \(\angle C=90^\circ\), \(a=5\). Выберите все верные утверждения.

A) \(\angle B=60^\circ\)

B) \(c=10\)

C) \(b=10\)

D) \(c=5\sqrt3\)

19. В треугольнике \(ABC\) \(a=5\), \(b=6\), \(c=8\), причём сторона \(c\) лежит напротив угла \(C\). Выберите все верные утверждения.

A) \(\cos C=-\dfrac1{20}\)

B) Угол \(C\) тупой.

C) Угол \(C\) прямой.

D) \(\cos C=\dfrac1{20}\)

20. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A=\angle B=45^\circ\), \(a=8\). Выберите все верные утверждения.

A) \(b=8\)

B) \(c=8\sqrt2\)

C) \(c=16\)

D) \(b=8\sqrt2\)