Реши задание на изображении

На изображении три задачи — решим все.

Краткий ответ

1. Сечение — квадрат \(MPNQ\), где \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(BB'\) и \(DD'\).
2. Сечение — квадрат \(K L R S\), подобный основанию \(ABCD\), причём его сторона равна \(\frac23\) стороны основания.
3. Сечение — пятиугольник \(PSQTR\).

Задача №1

Пусть:

• \(P\) — середина \(BB'\);
• \(Q\) — середина \(DD'\).

Так как \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AA'\) и \(CC'\), то

\[ MN\parallel AC. \]

Плоскость сечения проходит через \(MN\) и параллельна \(BD\). Прямые \(AC\) и \(BD\) — две пересекающиеся прямые плоскости основания, поэтому искомая плоскость параллельна основанию куба \(ABCD\).

Следовательно, она пересекает все вертикальные рёбра на одинаковой высоте — в их серединах.

Построение: отметьте середины \(P\) и \(Q\) рёбер \(BB'\) и \(DD'\), затем соедините точки по порядку:

\[ M-P-N-Q-M. \]

Ответ: квадрат \(MPNQ\).

Задача №2

Пусть:

• \(L\in MB\);
• \(R\in MC\);
• \(S\in MD\).

Так как

\[ MK:KA=2:1, \]

то

\[ \frac{MK}{MA}=\frac23. \]

Плоскость сечения параллельна основанию, поэтому остальные рёбра также делятся в таком же отношении:

\[ ML:LB=MR:RC=MS:SD=2:1. \]

Построение

1. Через \(K\) на грани \(MAB\) проведите прямую \(KL\parallel AB\).
2. Через \(L\) на грани \(MBC\) проведите \(LR\parallel BC\).
3. Через \(R\) на грани \(MCD\) проведите \(RS\parallel CD\).
4. Соедините \(S\) и \(K\). Получится \(SK\parallel DA\).

Искомое сечение:

\[ K-L-R-S. \]

Так как основание пирамиды — квадрат, сечение также является квадратом. Его сторона составляет \(\frac23\) стороны основания.

Задача №3

Рассмотрим искомую плоскость \(\pi\), проходящую через \(P,Q\) и параллельную \(AC'\).

Построение

1. Через точку \(P\) на грани \(ACC'A'\) проведите прямую \(\ell\parallel AC'\).
2. Эта прямая пересечёт:
   • верхнее ребро \(A'C'\) в точке \(R\);
   • плоскость основания \(ABC\) в точке \(X\), лежащей на продолжении \(AC\) за точку \(A\).
3. Соедините \(X\) и \(Q\). Прямая \(XQ\) пересечёт ребро \(AB\) в точке \(S\).
4. Через \(R\) в верхнем основании проведите прямую, параллельную \(XQ\). Она пересечёт \(B'C'\) в точке \(T\).
5. Соедините точки по порядку:

\[ P-S-Q-T-R-P. \]

Почему построение верно:

• \(PR\parallel AC'\), поэтому \(PR\) лежит в искомой плоскости;
• \(X,Q\) также лежат в этой плоскости, значит, \(XQ\) — её след на основании;
• \(RT\parallel XQ\), поэтому \(RT\) — след плоскости на верхнем основании.

Ответ: пятиугольник

\[ \boxed{PSQTR}. \]