Реши задание на изображении
Краткий ответ
- Сечение куба — квадрат \(MPNQ\) (частный случай ромба), где \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(BB'\) и \(DD'\).
- Сечение пирамиды — квадрат \(KPXY\), подобный основанию \(ABCD\), с коэффициентом подобия
\[ \frac{2}{3}. \]
Задача №1
Обозначим:
- \(P\) — середина ребра \(BB'\);
- \(Q\) — середина ребра \(DD'\).
Так как \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AA'\) и \(CC'\), то
\[ MN\parallel AC. \]
Плоскость сечения проходит через \(MN\) и параллельна \(BD\). Прямые \(AC\) и \(BD\) — диагонали основания куба, поэтому плоскость сечения параллельна основанию \(ABCD\).
Следовательно, она проходит через середины всех вертикальных рёбер куба.
Построение
- Через \(M\) провести \(MP\parallel AB\). Точка пересечения с \(BB'\) — точка \(P\).
- Через \(M\) провести \(MQ\parallel AD\). Точка пересечения с \(DD'\) — точка \(Q\).
- Соединить точки по порядку: \[ M-P-N-Q-M. \]
Проверка:
\[ MP\parallel AB,\quad PN\parallel BC,\quad NQ\parallel CD,\quad QM\parallel DA. \]
Все стороны равны стороне куба, поэтому \(MPNQ\) — квадрат, а значит, и ромб.
Задача №2
Из условия:
\[ MK:KA=2:1, \]
поэтому
\[ \frac{MK}{MA}=\frac{2}{3}. \]
Построение
- На грани \(MAB\) через \(K\) провести \(KP\parallel AB\). Точка \(P\) лежит на \(MB\).
- На грани \(MBC\) через \(P\) провести \(PX\parallel BC\). Точка \(X\) лежит на \(MC\).
- На грани \(MCD\) через \(X\) провести \(XY\parallel CD\). Точка \(Y\) лежит на \(MD\).
- Соединить \(Y\) с \(K\).
Искомое сечение:
\[ KPXY. \]
Почему это сечение параллельно основанию
Из подобия треугольников:
\[ \triangle MKP\sim\triangle MAB, \]
поэтому
\[ \frac{MP}{MB}=\frac{MK}{MA}=\frac23. \]
Аналогично:
\[ \frac{MX}{MC}=\frac{MY}{MD}=\frac23. \]
Кроме того, в грани \(MDA\) получаем
\[ KY\parallel DA. \]
Значит, стороны \(KPXY\) параллельны соответствующим сторонам основания \(ABCD\). Так как основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат, сечение \(KPXY\) также является квадратом, уменьшенным в \(\frac23\) раза.
