Реши задание на изображении

Краткий ответ:
График функции \(y=-x^2+4x\) — парабола, ветви направлены вниз.

• Вершина: \((2;4)\)
• Ось симметрии: \(x=2\)
• Нули функции: \(x=0\) и \(x=4\)
• Область определения: \(\mathbb R\)
• Область значений: \((-\infty;4]\)
• Возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\)
• Наибольшее значение: \(4\) при \(x=2\)

Решение

Приведём функцию к виду, удобному для построения графика:

\[ y=-x^2+4x=-(x^2-4x)=-(x-2)^2+4. \]

Это вид

\[ y=a(x-h)^2+k, \]

где \(a=-1\), \(h=2\), \(k=4\). Поэтому:

• вершина параболы — \((2;4)\);
• так как \(a<0\), ветви направлены вниз;
• ось симметрии — прямая \(x=2\).

Найдём точки пересечения с осью \(Ox\):

\[ -x^2+4x=0, \]

\[ x(4-x)=0. \]

Отсюда:

\[ x_1=0,\qquad x_2=4. \]

Получаем точки \((0;0)\) и \((4;0)\).

Для построения можно взять ещё симметричные точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&0&3&4&3&0 \end{array} \]

Нанесите эти точки на координатную плоскость и соедините плавной линией — получится парабола с вершиной \((2;4)\).

Проверка

При \(x=2\):

\[ y=-2^2+4\cdot2=-4+8=4, \]

что совпадает с найденной координатой вершины.