Реши задание на изображении
Краткий ответ
График функции
\[
y=-x^2+4x
\]
— парабола, ветви которой направлены вниз.
- вершина: \((2;4)\);
- ось симметрии: \(x=2\);
- нули функции: \(x=0\) и \(x=4\);
- область определения: \(\mathbb R\);
- область значений: \((-\infty;4]\);
- возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\);
- наибольшее значение: \(4\).
Решение
Выделим полный квадрат:
\[ y=-x^2+4x=-(x^2-4x)=-(x-2)^2+4. \]
Это форма
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
где \(a=-1\), \(h=2\), \(k=4\). Поэтому вершина параболы имеет координаты:
\[ (2;4). \]
Так как \(a=-1<0\), ветви параболы направлены вниз.
Для построения найдём несколько точек:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&0&3&4&3&0 \end{array} \]
Отмечаем точки \((0;0)\), \((1;3)\), \((2;4)\), \((3;3)\), \((4;0)\) и соединяем их плавной параболой.
Проверка нулей функции
\[ -x^2+4x=0, \]
\[ -x(x-4)=0. \]
Следовательно,
\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=4. \]
Значит, график пересекает ось \(Ox\) в точках \((0;0)\) и \((4;0)\). Вершина находится посередине между корнями:
\[ \frac{0+4}{2}=2, \]
что подтверждает ось симметрии \(x=2\).
Обсуждение
2 сообщениясвойства функции
Для функции
\[
y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4
\]
Свойства функции:
Область определения: \[ D(y)=(-\infty;+\infty). \]
Область значений: \[ E(y)=(-\infty;4]. \]
Нули функции: \[ -x^2+4x=0 \Rightarrow x=0,\quad x=4. \]
Промежутки знакопостоянства: \[ y>0 \text{ при } x\in(0;4); \] \[ y<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty). \]
Возрастает: \[ (-\infty;2]. \]
Убывает: \[ [2;+\infty). \]
Наибольшее значение: \[ y_{\max}=4 \] при \(x=2\).
Наименьшего значения нет, так как функция не ограничена снизу.
Вершина параболы: \[ (2;4). \]
Ось симметрии: \[ x=2. \]
Чётность: функция не является ни чётной, ни нечётной.
График: парабола, ветви направлены вниз.
