Реши задание на изображении

Понял: в №76 нужно привести каждое уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\) и решить по дискриминанту.

Формула:

\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

Решение

а)

\[ 3x^2-24x+21=0 \]

Делим на \(3\):

\[ x^2-8x+7=0,\quad D=36. \]

\[ x_{1,2}=\frac{8\pm6}{2} \]

\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=7} \]

б)

\[ 5x^2+10x-15=0 \]

\[ x^2+2x-3=0,\quad D=16. \]

\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=-3} \]

в)

\[ \frac16x^2+\frac12x+\frac13=0 \]

Умножим на \(6\):

\[ x^2+3x+2=0,\quad D=1. \]

\[ \boxed{x_1=-1,\quad x_2=-2} \]

г)

\[ x^2-12x+20=0,\quad D=64. \]

\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=10} \]

д)

\[ -y^2+16y-15=0 \]

Умножим на \(-1\):

\[ y^2-16y+15=0,\quad D=196. \]

\[ \boxed{y_1=1,\quad y_2=15} \]

е)

\[ -x^2-8x+9=0 \]

Умножим на \(-1\):

\[ x^2+8x-9=0,\quad D=100. \]

\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=-9} \]

ж)

\[ 2x^2-5x+3=0,\quad D=1. \]

\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=\frac32} \]

з)

\[ 5y^2+2y-3=0,\quad D=64. \]

\[ \boxed{y_1=\frac35,\quad y_2=-1} \]

и)

\[ -2x^2+5x+7=0 \]

Умножим на \(-1\):

\[ 2x^2-5x-7=0,\quad D=81. \]

\[ \boxed{x_1=\frac72,\quad x_2=-1} \]

Решаем каждое уравнение через дискриминант.

Формулы:

\[ D=b^2-4ac, \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

---

а) \(3x^2-24x+21=0\)

\[ a=3,\qquad b=-24,\qquad c=21. \]

Находим дискриминант:

\[ D=(-24)^2-4\cdot3\cdot21 \]

\[ D=576-252=324. \]

\[ \sqrt D=18. \]

Корни:

\[ x_1=\frac{-(-24)+18}{2\cdot3} =\frac{24+18}{6} =\frac{42}{6}=7; \]

\[ x_2=\frac{-(-24)-18}{2\cdot3} =\frac{24-18}{6} =\frac{6}{6}=1. \]

\[ \boxed{x_1=7,\quad x_2=1} \]

---

б) \(5x^2+10x-15=0\)

\[ a=5,\qquad b=10,\qquad c=-15. \]

\[ D=10^2-4\cdot5\cdot(-15) \]

\[ D=100+300=400. \]

\[ \sqrt D=20. \]

\[ x_1=\frac{-10+20}{2\cdot5} =\frac{10}{10}=1; \]

\[ x_2=\frac{-10-20}{2\cdot5} =\frac{-30}{10}=-3. \]

\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=-3} \]

---

в) \(\dfrac16x^2+\dfrac12x+\dfrac13=0\)

Умножим всё уравнение на \(6\):

\[ x^2+3x+2=0. \]

Теперь:

\[ a=1,\qquad b=3,\qquad c=2. \]

\[ D=3^2-4\cdot1\cdot2 \]

\[ D=9-8=1. \]

\[ \sqrt D=1. \]

\[ x_1=\frac{-3+1}{2\cdot1} =\frac{-2}{2}=-1; \]

\[ x_2=\frac{-3-1}{2\cdot1} =\frac{-4}{2}=-2. \]

\[ \boxed{x_1=-1,\quad x_2=-2} \]

---

г) \(x^2-12x+20=0\)

\[ a=1,\qquad b=-12,\qquad c=20. \]

\[ D=(-12)^2-4\cdot1\cdot20 \]

\[ D=144-80=64. \]

\[ \sqrt D=8. \]

\[ x_1=\frac{-(-12)+8}{2\cdot1} =\frac{12+8}{2} =\frac{20}{2}=10; \]

\[ x_2=\frac{-(-12)-8}{2\cdot1} =\frac{12-8}{2} =\frac{4}{2}=2. \]

\[ \boxed{x_1=10,\quad x_2=2} \]

---

д) \(-y^2+16y-15=0\)

\[ a=-1,\qquad b=16,\qquad c=-15. \]

\[ D=16^2-4\cdot(-1)\cdot(-15) \]

\[ D=256-60=196. \]

\[ \sqrt D=14. \]

\[ y_1=\frac{-16+14}{2\cdot(-1)} =\frac{-2}{-2}=1; \]

\[ y_2=\frac{-16-14}{2\cdot(-1)} =\frac{-30}{-2}=15. \]

\[ \boxed{y_1=1,\quad y_2=15} \]

---

е) \(-x^2-8x+9=0\)

\[ a=-1,\qquad b=-8,\qquad c=9. \]

\[ D=(-8)^2-4\cdot(-1)\cdot9 \]

\[ D=64+36=100. \]

\[ \sqrt D=10. \]

\[ x_1=\frac{-(-8)+10}{2\cdot(-1)} =\frac{8+10}{-2} =\frac{18}{-2}=-9; \]

\[ x_2=\frac{-(-8)-10}{2\cdot(-1)} =\frac{8-10}{-2} =\frac{-2}{-2}=1. \]

\[ \boxed{x_1=-9,\quad x_2=1} \]

---

ж) \(2x^2-5x+3=0\)

\[ a=2,\qquad b=-5,\qquad c=3. \]

\[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot3 \]

\[ D=25-24=1. \]

\[ \sqrt D=1. \]

\[ x_1=\frac{-(-5)+1}{2\cdot2} =\frac{5+1}{4} =\frac64=\frac32; \]

\[ x_2=\frac{-(-5)-1}{2\cdot2} =\frac{5-1}{4} =\frac44=1. \]

\[ \boxed{x_1=\frac32,\quad x_2=1} \]

---

з) \(5y^2+2y-3=0\)

\[ a=5,\qquad b=2,\qquad c=-3. \]

\[ D=2^2-4\cdot5\cdot(-3) \]

\[ D=4+60=64. \]

\[ \sqrt D=8. \]

\[ y_1=\frac{-2+8}{2\cdot5} =\frac6{10}=\frac35; \]

\[ y_2=\frac{-2-8}{2\cdot5} =\frac{-10}{10}=-1. \]

\[ \boxed{y_1=\frac35,\quad y_2=-1} \]

---

и) \(-2x^2+5x+7=0\)

\[ a=-2,\qquad b=5,\qquad c=7. \]

\[ D=5^2-4\cdot(-2)\cdot7 \]

\[ D=25+56=81. \]

\[ \sqrt D=9. \]

\[ x_1=\frac{-5+9}{2\cdot(-2)} =\frac4{-4}=-1; \]

\[ x_2=\frac{-5-9}{2\cdot(-2)} =\frac{-14}{-4}=\frac72. \]

\[ \boxed{x_1=-1,\quad x_2=\frac72} \]

Ответы:

\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а)}&\ x=1,\;7;\\ \text{б)}&\ x=1,\;-3;\\ \text{в)}&\ x=-1,\;-2;\\ \text{г)}&\ x=2,\;10;\\ \text{д)}&\ y=1,\;15;\\ \text{е)}&\ x=1,\;-9;\\ \text{ж)}&\ x=1,\;\frac32;\\ \text{з)}&\ y=-1,\;\frac35;\\ \text{и)}&\ x=-1,\;\frac72. \end{aligned} } \]

Пришли, пожалуйста, картинку ещё раз: сейчас в чате не отображается само изображение, поэтому я не вижу остальные задания. Я распишу каждое через дискриминант.

Это продолжение текущей задачи: на изображении упражнения 76–78. Каждый многочлен приравниваем к нулю, находим корни через дискриминант, затем раскладываем:

\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}, \]

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]

Упражнение 76

а) \(3x^2-24x+21\)

\[ 3x^2-24x+21=0 \]

\[ a=3,\quad b=-24,\quad c=21. \]

\[ D=(-24)^2-4\cdot3\cdot21=576-252=324, \qquad \sqrt D=18. \]

\[ x_1=\frac{24+18}{6}=7,\qquad x_2=\frac{24-18}{6}=1. \]

\[ \boxed{3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)} \]

---

б) \(5x^2+10x-15\)

\[ 5x^2+10x-15=0 \]

\[ a=5,\quad b=10,\quad c=-15. \]

\[ D=10^2-4\cdot5\cdot(-15)=100+300=400, \qquad \sqrt D=20. \]

\[ x_1=\frac{-10+20}{10}=1,\qquad x_2=\frac{-10-20}{10}=-3. \]

\[ \boxed{5x^2+10x-15=5(x-1)(x+3)} \]

---

в) \(\dfrac16x^2+\dfrac12x+\dfrac13\)

Умножим уравнение на \(6\):

\[ x^2+3x+2=0. \]

\[ a=1,\quad b=3,\quad c=2. \]

\[ D=3^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1, \qquad \sqrt D=1. \]

\[ x_1=\frac{-3+1}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{-3-1}{2}=-2. \]

Возвращаемся к исходному выражению:

\[ \boxed{\frac16x^2+\frac12x+\frac13 =\frac16(x+1)(x+2)} \]

---

г) \(x^2-12x+20\)

\[ x^2-12x+20=0 \]

\[ a=1,\quad b=-12,\quad c=20. \]

\[ D=(-12)^2-4\cdot1\cdot20=144-80=64, \qquad \sqrt D=8. \]

\[ x_1=\frac{12+8}{2}=10,\qquad x_2=\frac{12-8}{2}=2. \]

\[ \boxed{x^2-12x+20=(x-10)(x-2)} \]

---

д) \(-y^2+16y-15\)

\[ -y^2+16y-15=0 \]

\[ a=-1,\quad b=16,\quad c=-15. \]

\[ D=16^2-4\cdot(-1)\cdot(-15)=256-60=196, \qquad \sqrt D=14. \]

\[ y_1=\frac{-16+14}{-2}=1,\qquad y_2=\frac{-16-14}{-2}=15. \]

\[ \boxed{-y^2+16y-15=-(y-1)(y-15)} \]

---

е) \(-x^2-8x+9\)

\[ -x^2-8x+9=0 \]

\[ a=-1,\quad b=-8,\quad c=9. \]

\[ D=(-8)^2-4\cdot(-1)\cdot9=64+36=100, \qquad \sqrt D=10. \]

\[ x_1=\frac{8+10}{-2}=-9,\qquad x_2=\frac{8-10}{-2}=1. \]

\[ \boxed{-x^2-8x+9=-(x+9)(x-1)} \]

---

ж) \(2x^2-5x+3\)

\[ 2x^2-5x+3=0 \]

\[ a=2,\quad b=-5,\quad c=3. \]

\[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1, \qquad \sqrt D=1. \]

\[ x_1=\frac{5+1}{4}=\frac32,\qquad x_2=\frac{5-1}{4}=1. \]

\[ \boxed{2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)} \]

---

з) \(5y^2+2y-3\)

\[ 5y^2+2y-3=0 \]

\[ a=5,\quad b=2,\quad c=-3. \]

\[ D=2^2-4\cdot5\cdot(-3)=4+60=64, \qquad \sqrt D=8. \]

\[ y_1=\frac{-2+8}{10}=\frac35,\qquad y_2=\frac{-2-8}{10}=-1. \]

\[ \boxed{5y^2+2y-3=(5y-3)(y+1)} \]

---

и) \(-2x^2+5x+7\)

\[ -2x^2+5x+7=0 \]

\[ a=-2,\quad b=5,\quad c=7. \]

\[ D=5^2-4\cdot(-2)\cdot7=25+56=81, \qquad \sqrt D=9. \]

\[ x_1=\frac{-5+9}{-4}=-1,\qquad x_2=\frac{-5-9}{-4}=\frac72. \]

\[ \boxed{-2x^2+5x+7=-(x+1)(2x-7)} \]

---

Упражнение 77

а) \(2x^2-2x+\dfrac12\)

\[ 2x^2-2x+\frac12=0 \]

\[ a=2,\quad b=-2,\quad c=\frac12. \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot2\cdot\frac12=4-4=0. \]

Один корень:

\[ x_0=\frac{-(-2)}{2\cdot2}=\frac12. \]

\[ \boxed{2x^2-2x+\frac12=2\left(x-\frac12\right)^2} \]

---

б) \(-9x^2+12x-4\)

\[ -9x^2+12x-4=0 \]

\[ a=-9,\quad b=12,\quad c=-4. \]

\[ D=12^2-4\cdot(-9)\cdot(-4)=144-144=0. \]

\[ x_0=\frac{-12}{2\cdot(-9)}=\frac23. \]

\[ \boxed{-9x^2+12x-4=-(3x-2)^2} \]

---

в) \(16a^2+24a+9\)

\[ 16a^2+24a+9=0 \]

\[ A=16,\quad B=24,\quad C=9. \]

\[ D=24^2-4\cdot16\cdot9=576-576=0. \]

\[ a_0=\frac{-24}{2\cdot16}=-\frac34. \]

\[ \boxed{16a^2+24a+9=(4a+3)^2} \]

---

г) \(0{,}25m^2-2m+4\)

\[ 0{,}25m^2-2m+4=0 \]

\[ a=0{,}25,\quad b=-2,\quad c=4. \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot0{,}25\cdot4=4-4=0. \]

\[ m_0=\frac{-(-2)}{2\cdot0{,}25}=4. \]

\[ \boxed{0{,}25m^2-2m+4=0{,}25(m-4)^2} \]

---

Упражнение 78

а) \(2x^2+12x-14\)

\[ 2x^2+12x-14=0 \]

\[ a=2,\quad b=12,\quad c=-14. \]

\[ D=12^2-4\cdot2\cdot(-14)=144+112=256, \qquad \sqrt D=16. \]

\[ x_1=\frac{-12+16}{4}=1,\qquad x_2=\frac{-12-16}{4}=-7. \]

\[ \boxed{2x^2+12x-14=2(x-1)(x+7)} \]

---

б) \(-m^2+5m-6\)

\[ -m^2+5m-6=0 \]

\[ a=-1,\quad b=5,\quad c=-6. \]

\[ D=5^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)=25-24=1, \qquad \sqrt D=1. \]

\[ m_1=\frac{-5+1}{-2}=2,\qquad m_2=\frac{-5-1}{-2}=3. \]

\[ \boxed{-m^2+5m-6=-(m-2)(m-3)} \]

---

в) \(3x^2+5x-2\)

\[ 3x^2+5x-2=0 \]

\[ a=3,\quad b=5,\quad c=-2. \]

\[ D=5^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49, \qquad \sqrt D=7. \]

\[ x_1=\frac{-5+7}{6}=\frac13,\qquad x_2=\frac{-5-7}{6}=-2. \]

\[ \boxed{3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2)} \]

---

г) \(6x^2-13x+6\)

\[ 6x^2-13x+6=0 \]

\[ a=6,\quad b=-13,\quad c=6. \]

\[ D=(-13)^2-4\cdot6\cdot6=169-144=25, \qquad \sqrt D=5. \]

\[ x_1=\frac{13+5}{12}=\frac32,\qquad x_2=\frac{13-5}{12}=\frac23. \]

\[ \boxed{6x^2-13x+6=(2x-3)(3x-2)} \]