Реши задачу с кратким но понятным объяснением

На фото выражение \(ad\sqrt[4]{-ad^2}\). Если нужно внести множитель под корень, то при \(ad\ge 0\):

\[ ad\sqrt[4]{-ad^2} =\sqrt[4]{(ad)^4\cdot(-ad^2)} =\boxed{\sqrt[4]{-a^5d^6}}. \]

Если \(ad<0\), перед корнем ставится знак «минус»:

\[ ad\sqrt[4]{-ad^2}=-\sqrt[4]{-a^5d^6}. \]

Для существования выражения нужно \(-ad^2\ge0\).

Тогда нужно внести множитель \(ad\) под корень четвёртой степени:

\[ ad\sqrt[4]{-ad^2} =\sqrt[4]{(ad)^4\cdot(-ad^2)} =\boxed{\sqrt[4]{-a^5d^6}}, \]

если \(ad\ge 0\).

Если \(ad<0\), минус остаётся перед корнем:

\[ \boxed{-\sqrt[4]{-a^5d^6}}. \]

Это связано с тем, что корень четвёртой степени не может быть отрицательным.

Да, тогда выражение:

\[ ad^2\sqrt[4]{-ad^2}. \]

Так как \(\sqrt[4]{-ad^2}\) существует только при \(a\le 0\), множитель \(ad^2\) не положителен. Поэтому:

\[ ad^2\sqrt[4]{-ad^2} =-\sqrt[4]{(ad^2)^4\cdot(-ad^2)} =-\sqrt[4]{-a^5d^{10}}. \]

Ответ:

\[ \boxed{-\sqrt[4]{-a^5d^{10}}}. \]

Конечно.

Исходное выражение:

\[ ad^2\sqrt[4]{-ad^2}. \]

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ -ad^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad ad^2\le 0. \]

Значит, множитель \(ad^2\) отрицательный или равен нулю. Поэтому знак «минус» остаётся перед корнем.

2. Сам множитель вносим под корень в четвёртой степени:

\[ ad^2\sqrt[4]{-ad^2} = -\sqrt[4]{(ad^2)^4\cdot(-ad^2)}. \]

3. Раскрываем степень:

\[ (ad^2)^4=a^4d^8, \]

\[ a^4d^8\cdot(-ad^2)=-a^5d^{10}. \]

Итак,

\[ \boxed{-\sqrt[4]{-a^5d^{10}}}. \]

Минус перед корнем нужен потому, что \(ad^2\le0\).

Это продолжение текущей учебной цели, а не самостоятельное новое задание: на изображении тот же тип упражнения — внести переменные под знак корня. Пункт а) уже разбирался, а пункт б) — следующий пример того же задания.

Пришли, пожалуйста, фото или перепиши выражение под буквой б — в истории его самого не видно, поэтому решить без него нельзя.

Это продолжение текущей учебной цели: ты прислал фото примера б) после просьбы показать его условие.

На фото:

\[ -p^3q^3\sqrt[3]{p^2q}. \]

Вносим множитель под знак кубического корня:

\[ -p^3q^3\sqrt[3]{p^2q} = \sqrt[3]{(-p^3q^3)^3\cdot p^2q}. \]

Раскрываем степень:

\[ (-p^3q^3)^3\cdot p^2q =-p^9q^9\cdot p^2q =-p^{11}q^{10}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\sqrt[3]{-p^{11}q^{10}}}. \]

Понял, исправляю. Пример б):

\[ -p^3q\sqrt[8]{p^2q}. \]

При \(p,q>0\) знак «минус» оставляем перед корнем, а \(p^3q\) вносим под корень:

\[ -p^3q\sqrt[8]{p^2q} = -\sqrt[8]{(p^3q)^8\cdot p^2q}. \]

Раскрываем степень:

\[ (p^3q)^8=p^{24}q^8, \]

поэтому

\[ -\sqrt[8]{p^{24}q^8\cdot p^2q} = \boxed{-\sqrt[8]{p^{26}q^9}}. \]

У \(q\) вне корня степени нет, поэтому после возведения в восьмую степень получается \(q^8\).

Решаем примеры из задания «внесите множители под знак корня».

В)

\[ -mn^3\sqrt[6]{-mn} \]

Так как \(-mn\ge 0\), то

\[ -mn^3=(-mn)n^2\ge0. \]

Поэтому множитель можно внести под корень:

\[ \begin{aligned} -mn^3\sqrt[6]{-mn} &=\sqrt[6]{(-mn^3)^6\cdot(-mn)}\\ &=\sqrt[6]{-m^7n^{19}}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{\sqrt[6]{-m^7n^{19}}} \]

Г)

\[ xy^4\sqrt[4]{x^2y^3} \]

При \(x\ge0\):

\[ \begin{aligned} xy^4\sqrt[4]{x^2y^3} &=\sqrt[4]{(xy^4)^4\cdot x^2y^3}\\ &=\sqrt[4]{x^4y^{16}\cdot x^2y^3}\\ &=\boxed{\sqrt[4]{x^6y^{19}}}. \end{aligned} \]

Если \(x<0\), перед корнем нужно оставить знак «минус»:

\[ -\sqrt[4]{x^6y^{19}}. \]

Понял: в пункте г множитель — \(xy\), без степени \(4\):

\[ xy\sqrt[4]{x^2y^3}. \]

Вносим \(xy\) под корень:

\[ xy\sqrt[4]{x^2y^3} =\sqrt[4]{(xy)^4\cdot x^2y^3} =\sqrt[4]{x^4y^4\cdot x^2y^3}. \]

Складываем показатели:

\[ \boxed{\sqrt[4]{x^6y^7}}. \]

Ответ верен при \(x\ge0,\ y\ge0\).

На фото:

\[ \text{а) }\sqrt[4]{a^6b^9}-\sqrt[4]{-a^7b^5}, \qquad \text{б) }\sqrt[6]{-l^7m^{12}}+\sqrt[4]{-l^4m^{15}}. \]

Для корней чётной степени учитываем модуль:

\[ \sqrt[2n]{x^{2n}}=|x|. \]

а)

\[ a^6b^9=(ab^2)^4\cdot a^2b, \]

поэтому

\[ \sqrt[4]{a^6b^9}=|a|b^2\sqrt[4]{a^2b}. \]

Также:

\[ -a^7b^5=(ab)^4\cdot(-a^3b), \]

\[ \sqrt[4]{-a^7b^5}=|ab|\sqrt[4]{-a^3b}. \]

Ответ:

\[ \boxed{|a|b^2\sqrt[4]{a^2b} -|ab|\sqrt[4]{-a^3b}}. \]

б)

\[ -l^7m^{12}=(lm^2)^6\cdot(-l), \]

\[ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} =|l|m^2\sqrt[6]{-l}. \]

Далее:

\[ -l^4m^{15}=(lm^3)^4\cdot(-m^3), \]

\[ \sqrt[4]{-l^4m^{15}} =|lm^3|\sqrt[4]{-m^3}. \]

Ответ:

\[ \boxed{|l|m^2\sqrt[6]{-l} +|lm^3|\sqrt[4]{-m^3}}. \]

Модули нужны потому, что корни имеют чётные показатели.

6.28 а)

\[ \sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}=0 \]

ОДЗ: \(x\ge 0\).

Обозначим:

\[ t=\sqrt[6]{x}, \qquad t\ge0. \]

Тогда

\[ \sqrt[3]{x}=\left(\sqrt[6]{x}\right)^2=t^2. \]

Получаем:

\[ t^2-2t=0, \]

\[ t(t-2)=0. \]

Отсюда:

\[ t=0 \quad \text{или} \quad t=2. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ \sqrt[6]{x}=0 \Rightarrow x=0, \]

\[ \sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=2^6=64. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=0;\ 64}. \]

6.28 б)

\[ \sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0 \]

ОДЗ: \(x\ge0\).

Обозначим:

\[ t=\sqrt[4]{x}, \qquad t\ge0. \]

Тогда

\[ \sqrt{x}=\left(\sqrt[4]{x}\right)^2=t^2. \]

Получаем:

\[ t^2-5t+6=0. \]

Разложим на множители:

\[ (t-2)(t-3)=0. \]

Отсюда:

\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=3. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ \sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=2^4=16, \]

\[ \sqrt[4]{x}=3 \Rightarrow x=3^4=81. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=16;\ 81}. \]

Разложим выражение:

\[ t^2+2t-1=(t+1)^2-2. \]

Так как \(2=(\sqrt2)^2\), применяем разность квадратов:

\[ (t+1)^2-(\sqrt2)^2 =(t+1-\sqrt2)(t+1+\sqrt2). \]

Поэтому:

\[ \boxed{(t+1-\sqrt2)(t+1+\sqrt2)=0}. \]

Корни уравнения:

\[ \boxed{t=-1+\sqrt2 \quad \text{или} \quad t=-1-\sqrt2}. \]

В)

\[ \sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}-1=0 \]

Пусть

\[ t=\sqrt[6]{x}, \qquad t\ge 0. \]

Тогда

\[ \sqrt[3]{x}=t^2. \]

Получаем:

\[ t+2t^2-1=0, \]

\[ 2t^2+t-1=0, \]

\[ (2t-1)(t+1)=0. \]

Отсюда \(t=\frac12\) или \(t=-1\). Так как \(t\ge0\), берём \(t=\frac12\).

\[ x=t^6=\left(\frac12\right)^6=\frac1{64}. \]

\[ \boxed{x=\frac1{64}} \]

Г)

\[ \sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0 \]

Пусть

\[ t=\sqrt[8]{x}, \qquad t\ge0. \]

Тогда

\[ \sqrt[4]{x}=t^2. \]

Получаем:

\[ t^2+2t-3=0, \]

\[ (t-1)(t+3)=0. \]

Отсюда \(t=1\) или \(t=-3\). Так как \(t\ge0\), берём \(t=1\).

\[ x=t^8=1^8=1. \]

\[ \boxed{x=1} \]