Реши

Точно прочитать по фото не удаётся №6 и №8: блик закрывает правую часть №6 и выражение в скобках №8. Остальные уравнения решаются так.

Краткие ответы

\[ \begin{aligned} 1)&\ x=9;\\ 2)&\ x=8;\\ 3)&\ x=\frac13;\\ 4)&\ x=\frac52;\\ 5)&\ x=1;\\ 6)&\ \text{условие неразборчиво};\\ 7)&\ x=\frac13;\\ 8)&\ \text{условие неразборчиво};\\ 9)&\ x=-\frac18;\\ 10)&\ x=-\frac32;\\ 11)&\ x=-1;\\ 12)&\ x=0,\ 2;\\ 13)&\ x=2;\\ 14)&\ x=-\frac{47}{20};\\ 15)&\ x=9;\\ 16)&\ x=20;\\ 17)&\ x=\frac{13}{2};\\ 18)&\ x=4;\\ 19)&\ x=3;\\ 20)&\ x=6;\\ 21)&\ x=\sqrt2;\\ 22)&\ x=2;\\ 23)&\ \varnothing;\\ 24)&\ x=7;\\ 25)&\ x=2;\\ 26)&\ \varnothing;\\ 27)&\ \varnothing;\\ 28)&\ x=\pm1;\\ 29)&\ x=\pm8;\\ 30)&\ x=12;\\ 31)&\ x=4;\\ 32)&\ x=3;\\ 33)&\ x=-5,\ 1;\\ 34)&\ x=\frac{-5+\sqrt{41}}4. \end{aligned} \]

Основной принцип

\[ \log_a f(x)=b \Longleftrightarrow f(x)=a^b, \]

при этом аргумент логарифма должен быть положительным.

Также:

\[ \log_a u+\log_a v=\log_a(uv), \qquad \log_a u-\log_a v=\log_a\frac uv. \]

Уравнения 1–17

\[ \begin{aligned} 1)&\quad x=3^2=9.\\ 2)&\quad x=2^3=8.\\ 3)&\quad x=3^{-1}=\frac13.\\ 4)&\quad x=(0{,}4)^{-1}=\frac52.\\ 5)&\quad x=7^0=1.\\ 7)&\quad x=9^{-1/2}=\frac13.\\ 9)&\quad -x=2^{-3}=\frac18 \Rightarrow x=-\frac18.\\ 10)&\quad -2x=\left(\frac13\right)^{-1}=3 \Rightarrow x=-\frac32.\\ 11)&\quad 1-2x=3 \Rightarrow x=-1.\\ 12)&\quad (x-1)^2=10^0=1 \Rightarrow x=0,\ 2.\\ 13)&\quad 3-x=1 \Rightarrow x=2.\\ 14)&\quad 5+2x=0{,}3 \Rightarrow x=-\frac{4{,}7}{2} =-\frac{47}{20}.\\ 15)&\quad \log_3x=2 \Rightarrow x=9.\\ 16)&\quad \lg x=2-\lg5 =\lg100-\lg5=\lg20 \Rightarrow x=20.\\ 17)&\quad 2x-4=\left(\frac13\right)^{-2}=9 \Rightarrow x=\frac{13}{2}. \end{aligned} \]

Уравнения 18–27

\[ \begin{aligned} 18)&\quad x>2,\\ &\log_3\bigl(x(x-2)\bigr)=\log_3 8,\\ &x(x-2)=8 \Rightarrow x^2-2x-8=0\\ &\Rightarrow x=4\ \text{или}\ -2. \end{aligned} \]

По ОДЗ \(x>2\), поэтому \(x=4\).

\[ \begin{aligned} 19)&\quad x>2,\\ &(x-2)(x+6)=3^2=9,\\ &x^2+4x-21=0 \Rightarrow x=3\ \text{или}\ -7. \end{aligned} \]

Подходит только \(x=3\).

\[ \begin{aligned} 20)&\quad x>5,\\ &(x-5)(x+2)=2^3=8,\\ &x^2-3x-18=0 \Rightarrow x=6\ \text{или}\ -3. \end{aligned} \]

Подходит \(x=6\).

\[ \begin{aligned} 21)&\quad x>1,\\ &(x-1)(x+1)=1,\\ &x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2. \end{aligned} \]

По ОДЗ \(x=\sqrt2\).

\[ \begin{aligned} 22)&\quad x>\sqrt3,\\ &(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)=1,\\ &x^2-3=1 \Rightarrow x=\pm2. \end{aligned} \]

Подходит \(x=2\).

\[ \begin{aligned} 23)&\quad \frac{3x-1}{x+5}=5,\\ &3x-1=5x+25 \Rightarrow x=-13. \end{aligned} \]

Но по ОДЗ \(x>\frac13\), поэтому решений нет.

\[ \begin{aligned} 24)&\quad \frac{x-1}{2x-11}=2,\\ &x-1=4x-22 \Rightarrow x=7. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 25)&\quad \frac{6x-10}{x^2-3}=2,\\ &6x-10=2x^2-6,\\ &x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=1\ \text{или}\ 2. \end{aligned} \]

ОДЗ: \(x>\sqrt3\), поэтому \(x=2\).

В №26 и №27 после приравнивания аргументов получаются соответственно \(x=-1\) и \(x=-3\), но эти значения нарушают ОДЗ. Поэтому:

\[ 26)\ \varnothing,\qquad 27)\ \varnothing. \]

Уравнения 28–34

\[ \begin{aligned} 28)&\quad x^2=5^0=1 \Rightarrow x=\pm1.\\ 29)&\quad x^2=4^3=64 \Rightarrow x=\pm8.\\ 30)&\quad \log_3x=\log_3(1{,}5\cdot8) =\log_3 12 \Rightarrow x=12.\\ 31)&\quad \log_7x=\log_7\frac{12}{3} =\log_7 4 \Rightarrow x=4.\\ 32)&\quad \log_{0{,}3}x =\log_{0{,}3}\frac{6^2}{12} =\log_{0{,}3}3 \Rightarrow x=3.\\ 33)&\quad x^2+4x+3=2^3=8,\\ &x^2+4x-5=0 \Rightarrow x=-5,\ 1.\\ 34)&\quad (x+1)(2x+3)=5,\\ &2x^2+5x-2=0,\\ &x=\frac{-5\pm\sqrt{41}}4. \end{aligned} \]

ОДЗ в №34: \(x>-1\), поэтому остаётся

\[ x=\frac{-5+\sqrt{41}}4. \]

Проверка заключается в подстановке корней и проверке ОДЗ: например, в №25 при \(x=2\)

\[ \log_2 2-\log_2 1=1, \]

а в №34 для найденного корня выполняется \((x+1)(2x+3)=5\).