Реши задание на изображении
Краткий ответ
Для функции \(f(x)=x^3-3x\):
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Функция нечётная.
- Нули: \(x=-\sqrt3,\;0,\;\sqrt3\).
- Знак: \[ f(x)<0 \text{ на }(-\infty;-\sqrt3)\cup(0;\sqrt3), \] \[ f(x)>0 \text{ на }(-\sqrt3;0)\cup(\sqrt3;+\infty). \]
- Возрастает: \((-\infty;-1]\) и \([1;+\infty)\);
убывает: \([-1;1]\).
Максимум локальный: \(f(-1)=2\); минимум локальный: \(f(1)=-2\). - На \([-2;2]\): \[ \max f(x)=2 \quad (x=-1,\;x=2), \] \[ \min f(x)=-2 \quad (x=-2,\;x=1). \]
Решение по шагам
1. Область определения
Функция является многочленом, поэтому определена при всех действительных \(x\):
\[ D(f)=\mathbb R. \]
2. Чётность и нечётность
Найдём \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x). \]
Значит, функция нечётная. Её график симметричен относительно начала координат.
3. Нули функции
Приравняем функцию к нулю:
\[ x^3-3x=0, \]
\[ x(x^2-3)=0, \]
\[ x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=0. \]
Следовательно,
\[ x=-\sqrt3,\qquad x=0,\qquad x=\sqrt3. \]
4. Промежутки знакопостоянства
Корни разбивают числовую прямую на интервалы:
\[ (-\infty;-\sqrt3),\quad (-\sqrt3;0),\quad (0;\sqrt3),\quad (\sqrt3;+\infty). \]
Знаки чередуются, так как все корни простые:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&(-\infty;-\sqrt3)&-\sqrt3&(-\sqrt3;0)&0&(0;\sqrt3)&\sqrt3&(\sqrt3;+\infty)\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+ \end{array} \]
5. Монотонность и экстремумы
Найдём производную:
\[ f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). \]
Критические точки:
\[ f'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\;x=1. \]
Знак производной:
- \(f'(x)>0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\);
- \(f'(x)<0\) при \(x\in(-1;1)\).
Поэтому функция:
- возрастает на \((-\infty;-1]\);
- убывает на \([-1;1]\);
- возрастает на \([1;+\infty)\).
Значения в критических точках:
\[ f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2, \]
\[ f(1)=1^3-3\cdot1=-2. \]
Так как производная меняет знак с «+» на «−» при \(x=-1\), это точка локального максимума:
\[ (-1;2). \]
При \(x=1\) производная меняет знак с «−» на «+», поэтому это точка локального минимума:
\[ (1;-2). \]
6. Наибольшее и наименьшее значения на \([-2;2]\)
На отрезке проверяем концы и критические точки:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-2&-1&1&2\\ \hline f(x)&-2&2&-2&2 \end{array} \]
Следовательно,
\[ \boxed{\max\limits_{[-2;2]} f(x)=2} \]
при \(x=-1\) и \(x=2\), а
\[ \boxed{\min\limits_{[-2;2]} f(x)=-2} \]
при \(x=-2\) и \(x=1\).
