Реши задание на изображении
Краткий ответ
Для функции
\[
f(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)
\]
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Нули функции: \(x=0\) и \(x=3\).
- Возрастает на \((-\infty;0)\) и \((2;+\infty)\).
- Убывает на \((0;2)\).
- Локальный максимум: \((0;0)\).
- Локальный минимум: \((2;-4)\).
- Точка перегиба: \((1;-2)\).
- Область значений: \(\mathbb R\).
Ключевые шаги
- Разложим на множители: \[ f(x)=x^2(x-3). \]
Отсюда нули: \[ x^2(x-3)=0 \Rightarrow x=0,\quad x=3. \]
Знак функции:
- \(f(x)<0\) при \(x<3\), кроме \(x=0\);
- \(f(x)>0\) при \(x>3\).
- Исследуем производную: \[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). \]
Критические точки: \[ f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\quad x=2. \]
Знак производной:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;0)&0&(0;2)&2&(2;+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]
Значит:
- функция возрастает на \((-\infty;0)\) и \((2;+\infty)\);
- функция убывает на \((0;2)\).
Значения в критических точках: \[ f(0)=0, \] поэтому \((0;0)\) — максимум;
\[ f(2)=2^3-3\cdot2^2=8-12=-4, \] поэтому \((2;-4)\) — минимум.
- Вторая производная: \[ f''(x)=6x-6=6(x-1). \]
- при \(x<1\): \(f''(x)<0\), график выпукл вниз;
- при \(x>1\): \(f''(x)>0\), график выпукл вверх.
Точка перегиба: \[ x=1,\qquad f(1)=1-3=-2. \]
Следовательно, точка перегиба — \((1;-2)\).
- Проверка поведения на бесконечности: \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]
Поэтому область значений функции — вся \(\mathbb R\).
График касается оси \(Ox\) в точке \((0;0)\) и пересекает её в точке \((3;0)\).
Обсуждение
2 сообщенияПоказать, как по этим данным построить график?
Да. Построим график функции
\[
y=x^3-3x^2.
\]
1. Отметьте основные точки
Составим небольшую таблицу:
\[ \begin{array}{c|rrrrrr} x&-1&0&1&2&3&4\\ \hline y&-4&0&-2&-4&0&16 \end{array} \]
На координатной плоскости отметьте точки:
\[ (-1;-4),\quad (0;0),\quad (1;-2),\quad (2;-4),\quad (3;0),\quad (4;16). \]
Особенно важны:
- \((0;0)\) — точка максимума;
- \((2;-4)\) — точка минимума;
- \((1;-2)\) — точка перегиба;
- \((3;0)\) — пересечение с осью \(Ox\).
2. Учтите направление движения графика
По производной:
\[ y'=3x(x-2). \]
Поэтому график:
- возрастает на \((-\infty;0)\);
- убывает на \((0;2)\);
- возрастает на \((2;+\infty)\).
То есть слева график поднимается до точки \((0;0)\), затем опускается до \((2;-4)\), а после этого снова поднимается.
3. Проведите кривую
Соединяйте точки плавной линией, а не отрезками:
- Из нижней левой части график поднимается к \((0;0)\).
- В точке \((0;0)\) он касается оси \(Ox\) и поворачивает вниз.
- Проходит через точку перегиба \((1;-2)\).
- Достигает минимума \((2;-4)\).
- Поднимается, пересекает ось \(Ox\) в точке \((3;0)\).
- Дальше быстро уходит вверх вправо.
Схематично:
y
↑
| /
| /
0|────────────●──────────────●────────→ x
(0;0) (3;0)
╲
╲
●
(2;-4)
График находится ниже оси \(Ox\) слева от \(x=3\), кроме точки \((0;0)\), а после \(x=3\) — выше оси.
