Реши задание на изображении
Ответ:
- а) вертикальная асимптота: \(\boxed{x=2}\), горизонтальная: \(\boxed{y=1}\);
- б) вертикальная асимптота: \(\boxed{x=-3}\), горизонтальная: \(\boxed{y=-1}\).
Решение
а) \(\displaystyle y=\frac{x+8}{x-2}\)
Знаменатель обращается в ноль при \(x=2\), поэтому:
\[ x=2 \]
— вертикальная асимптота.
Выделим целую часть:
\[ \frac{x+8}{x-2} =\frac{(x-2)+10}{x-2} =1+\frac{10}{x-2}. \]
При \(x\to\pm\infty\) дробь \(\dfrac{10}{x-2}\to0\), значит:
\[ y=1 \]
— горизонтальная асимптота.
б) \(\displaystyle y=-\frac{x-8}{x+3}\)
Знаменатель равен нулю при \(x=-3\), поэтому:
\[ x=-3 \]
— вертикальная асимптота.
Преобразуем функцию:
\[ -\frac{x-8}{x+3} =-\frac{(x+3)-11}{x+3} =-1+\frac{11}{x+3}. \]
При \(x\to\pm\infty\) дробь стремится к нулю, поэтому:
\[ y=-1 \]
— горизонтальная асимптота.
Обсуждение
2 сообщенияА как ты получил - единицу под буквой "б"? Я просто не совсем понимаю, нам говорили, чтобы находить симптоты можно поделить столбиком числительное знаменателе. Я поделила, я пишу икс-8 делить на икс + 3. Ну, мы берём единицу. Получается икс-8. - икс + 3 икс и у нас сокращаются. А-8? - +3. А там 11 будет, да я тупанула, подожди, ну вот будет у нас 11 и что? И что это значит, это значит, что у нас игрек равно? 1. - 5 делить, а нет, подожди не 5. Я запуталась.
Да, остаток получается \(11\), но это ещё не асимптота. Покажем деление внимательно.
Дана функция:
\[ y=-\frac{x-8}{x+3}. \]
Можно сразу раскрыть минус в числителе:
\[ y=\frac{-x+8}{x+3}. \]
Теперь делим \(-x+8\) на \(x+3\).
- \(-x:x=-1\). Это первая часть частного.
- Умножаем:
\[ -1\cdot(x+3)=-x-3. \]
- Вычитаем:
\[ (-x+8)-(-x-3)=-x+8+x+3=11. \]
Значит,
\[ \frac{-x+8}{x+3}=-1+\frac{11}{x+3}. \]
И функция имеет вид:
\[ \boxed{y=-1+\frac{11}{x+3}}. \]
При больших по модулю \(x\) дробь
\[ \frac{11}{x+3} \]
стремится к нулю. Поэтому график приближается к числу \(-1\):
\[ \boxed{y=-1} \]
— горизонтальная асимптота.
То есть:
- \(-1\) — это частное при делении;
- \(11\) — это остаток;
- \(\dfrac{11}{x+3}\) стремится к нулю, поэтому асимптота именно \(\boxed{y=-1}\), а не \(y=11\).
