Реши оба задания

Краткий ответ

№ 52. Если две стороны треугольника параллельны плоскости \(\alpha\), то и третья сторона параллельна \(\alpha\).

№ 65.
а) \(A_1B_1B_2A_2\), \(B_1C_1C_2B_2\) и \(A_1C_1C_2A_2\) — параллелограммы.
б) \(\triangle A_1B_1C_1=\triangle A_2B_2C_2\) по трём сторонам.

Решение № 52

Пусть стороны \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) параллельны плоскости \(\alpha\):

\[ AB\parallel\alpha,\qquad AC\parallel\alpha. \]

Через точку \(A\) проведём плоскость \(\gamma\parallel\alpha\). Обе прямые \(AB\) и \(AC\), проходящие через \(A\) и параллельные \(\alpha\), лежат в плоскости \(\gamma\).

Так как \(AB\) и \(AC\) пересекаются, они определяют плоскость треугольника \(ABC\). Значит,

\[ (ABC)=\gamma,\qquad (ABC)\parallel\alpha. \]

Сторона \(BC\) лежит в плоскости \((ABC)\), поэтому

\[ \boxed{BC\parallel\alpha}. \]

Принцип: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то и вся их плоскость параллельна этой плоскости.

Решение № 65

Рассмотрим отрезки \(A_1A_2\) и \(B_1B_2\). Они параллельны, поэтому определяют некоторую плоскость \(\pi\).

Эта плоскость пересекает:

• плоскость \(\alpha\) по прямой \(A_1B_1\);
• плоскость \(\beta\) по прямой \(A_2B_2\).

Так как \(\alpha\parallel\beta\), то линии их пересечения с плоскостью \(\pi\) параллельны:

\[ A_1B_1\parallel A_2B_2. \]

Кроме того, по условию:

\[ A_1A_2\parallel B_1B_2. \]

Следовательно, у четырёхугольника \(A_1B_1B_2A_2\) обе пары противоположных сторон параллельны. Значит, это параллелограмм.

Аналогично доказывается, что

\[ \boxed{B_1C_1C_2B_2\text{ и }A_1C_1C_2A_2\text{ — параллелограммы}.} \]

Из свойств параллелограмма получаем:

\[ A_1B_1=A_2B_2, \]

\[ B_1C_1=B_2C_2, \]

\[ A_1C_1=A_2C_2. \]

У треугольников \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) равны три соответствующие стороны. Поэтому по третьему признаку равенства треугольников:

\[ \boxed{\triangle A_1B_1C_1\cong\triangle A_2B_2C_2}. \]