Решение

Краткий ответ:

1 — Д; 2 — С; 3 — В; 4 — С; 5 — В;
6 — В; 7 — С; 8 — В; 9 — В; 10 — Д;
11 — С; 12 — С; 13 — В; 14 — Д; 15 — Д;
16 — А; 17 — Д; 18 — С; 19 — Д; 20 — С.

Ключевые правила

• Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
• Через две различные точки проходит только одна прямая.
• Число пар из \(n\) объектов: \[ \frac{n(n-1)}2. \]
• Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).
• Вертикальные углы равны.
• Минутная стрелка проходит \(6^\circ\) за одну минуту.

Разбор

1. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых — Д.

2. Через две точки проходит единственная прямая — С.

3. Две различные прямые могут иметь максимум одну общую точку — В.

4. Из трёх точек можно составить: \[ \frac{3\cdot2}{2}=3 \] пары, значит, получится 3 прямые — С.

5. Для четырёх точек: \[ \frac{4\cdot3}{2}=6 \] прямых — В.

6. Для пяти точек: \[ \frac{5\cdot4}{2}=10 \] прямых — В.

7. Три прямые могут пересекаться попарно в трёх различных точках — С.

8. Для четырёх прямых: \[ \frac{4\cdot3}{2}=6 \] точек пересечения — В.

9. Для пяти прямых: \[ \frac{5\cdot4}{2}=10 \] точек пересечения — В.

10. Отрезок задаётся двумя концами. Из четырёх точек можно выбрать: \[ \frac{4\cdot3}{2}=6 \] пар — Д.

11. Так как \(OB<OA\), точки расположены так: \[ O-B-A. \] Между двумя другими лежит точка \(B\) — С.

12. Расположим точки: \[ A-B-C-D. \] Пусть \(A=0\), тогда \(B=3\), \(C=8\), \(D=12\).

    Середина \(AB\): \[ \frac{0+3}{2}=1{,}5. \]

    Середина \(CD\): \[ \frac{8+12}{2}=10. \]

    Расстояние: \[ 10-1{,}5=8{,}5\text{ см}. \] Ответ — С.

13. Данному углу смежны два угла — В.

14. Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-30^\circ=150^\circ. \] Ответ — Д.

15. Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(x+90^\circ\): \[ x+x+90^\circ=180^\circ, \] \[ 2x=90^\circ,\qquad x=45^\circ. \] Второй угол: \[ 45^\circ+90^\circ=135^\circ. \] Ответ: \(45^\circ\) и \(135^\circ\) — Д.

16. Пусть меньший угол \(x\), а больший \(3x\): \[ x+3x=180^\circ, \] \[ 4x=180^\circ,\qquad x=45^\circ. \] Второй угол \(135^\circ\) — А.

17. Пусть один угол составляет \(20\%\) другого: \[ x=0{,}2y,\qquad x+y=180^\circ. \] Тогда: \[ 0{,}2y+y=180^\circ, \] \[ 1{,}2y=180^\circ,\qquad y=150^\circ, \] \[ x=30^\circ. \] Ответ — Д.

18. Вертикальные углы равны. Если их сумма \(150^\circ\), то каждый из них: \[ 150^\circ:2=75^\circ. \] Смежные с ними углы: \[ 180^\circ-75^\circ=105^\circ. \] Все углы: \(75^\circ,105^\circ,75^\circ,105^\circ\) — С.

19. Минутная стрелка за 1 минуту проходит \(6^\circ\): \[ 20\cdot6^\circ=120^\circ. \] Ответ — Д.

20. В \(13\) ч \(30\) мин минутная стрелка стоит на \(180^\circ\).

    Часовая стрелка прошла: \[ 30^\circ+30\cdot0{,}5^\circ=45^\circ. \]

    Угол между стрелками: \[ 180^\circ-45^\circ=135^\circ. \] Ответ — С.

Проверка: в задачах 14–18 пары углов дают \(180^\circ\), а в задаче 18 вертикальные углы действительно равны.