Разберём задания 5, 6 и 7 подробно. Во всех трёх задачах используется одна и та же схема: несколько независимых испытаний, в каждом из которых может произойти успех или неудача.

Если:

• \(n\) — число испытаний;
• \(p\) — вероятность успеха;
• \(q=1-p\) — вероятность неудачи;
• \(S\) — число успехов,

то

\[ P(S=k)=C_n^k p^kq^{\,n-k}, \]

где

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

---

Задание 5

Вероятность попадания при одном выстреле:

\[ p=0{,}7. \]

Вероятность промаха:

\[ q=1-p=1-0{,}7=0{,}3. \]

Стрелок делает \(3\) выстрела. Случайная величина \(S\) — число попаданий.

Она может принимать значения:

\[ S=0,\;1,\;2,\;3. \]

1. Ни одного попадания

Все три выстрела должны быть промахами:

\[ P(S=0)=0{,}3^3=0{,}027. \]

2. Одно попадание

Одно попадание и два промаха могут произойти тремя способами:

• попадание, промах, промах;
• промах, попадание, промах;
• промах, промах, попадание.

Поэтому:

\[ P(S=1)=C_3^1\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3^2. \]

Вычислим:

\[ P(S=1)=3\cdot 0{,}7\cdot 0{,}09=0{,}189. \]

3. Два попадания

Два попадания и один промах можно получить тремя способами:

\[ P(S=2)=C_3^2\cdot 0{,}7^2\cdot 0{,}3. \]

\[ P(S=2)=3\cdot 0{,}49\cdot 0{,}3=0{,}441. \]

4. Три попадания

Все три выстрела должны быть удачными:

\[ P(S=3)=0{,}7^3=0{,}343. \]

Ряд распределения

\[ \begin{array}{c|cccc} S&0&1&2&3\\ \hline P&0{,}027&0{,}189&0{,}441&0{,}343 \end{array} \]

Проверим сумму вероятностей:

\[ 0{,}027+0{,}189+0{,}441+0{,}343=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{array}{c|cccc} S&0&1&2&3\\ \hline P(S)&0{,}027&0{,}189&0{,}441&0{,}343 \end{array}} \]

---

Задание 6

В этой задаче пассажир может выйти на одном из пяти этажей:

\[ 2,\;3,\;4,\;5,\;6. \]

Значит, вероятность выйти именно на третьем этаже равна:

\[ p=\frac15. \]

Вероятность не выйти на третьем этаже:

\[ q=1-\frac15=\frac45. \]

Всего рассматривается \(4\) поездки, а \(S\) — число случаев, когда пассажир вышел на третьем этаже.

Возможные значения:

\[ S=0,\;1,\;2,\;3,\;4. \]

1. Ни одного выхода на третьем этаже

Во всех четырёх поездках пассажир должен выйти на другом этаже:

\[ P(S=0)=\left(\frac45\right)^4. \]

\[ P(S=0)=\frac{4^4}{5^4}=\frac{256}{625}. \]

2. Один выход на третьем этаже

Один успех можно расположить среди четырёх поездок \(C_4^1=4\) способами:

\[ P(S=1)=C_4^1\cdot\frac15\cdot\left(\frac45\right)^3. \]

\[ P(S=1)=4\cdot\frac15\cdot\frac{64}{125} =\frac{256}{625}. \]

3. Два выхода на третьем этаже

Две поездки из четырёх должны закончиться выходом на третьем этаже:

\[ P(S=2)=C_4^2\cdot\left(\frac15\right)^2\cdot\left(\frac45\right)^2. \]

Так как

\[ C_4^2=6, \]

получаем:

\[ P(S=2)=6\cdot\frac1{25}\cdot\frac{16}{25} =\frac{96}{625}. \]

4. Три выхода на третьем этаже

\[ P(S=3)=C_4^3\cdot\left(\frac15\right)^3\cdot\frac45. \]

Так как \(C_4^3=4\), то

\[ P(S=3)=4\cdot\frac1{125}\cdot\frac45 =\frac{16}{625}. \]

5. Четыре выхода на третьем этаже

Все четыре поездки должны закончиться выходом на третьем этаже:

\[ P(S=4)=\left(\frac15\right)^4=\frac1{625}. \]

Ряд распределения

\[ \begin{array}{c|ccccc} S&0&1&2&3&4\\ \hline P(S)& \frac{256}{625}& \frac{256}{625}& \frac{96}{625}& \frac{16}{625}& \frac{1}{625} \end{array} \]

В десятичных дробях:

\[ \begin{array}{c|ccccc} S&0&1&2&3&4\\ \hline P(S)& 0{,}4096& 0{,}4096& 0{,}1536& 0{,}0256& 0{,}0016 \end{array} \]

Проверка:

\[ \frac{256+256+96+16+1}{625} =\frac{625}{625}=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{array}{c|ccccc} S&0&1&2&3&4\\ \hline P(S)& \frac{256}{625}& \frac{256}{625}& \frac{96}{625}& \frac{16}{625}& \frac{1}{625} \end{array}} \]

---

Задание 7

Вероятность поймать рыбу при одном забрасывании:

\[ p=\frac13. \]

Вероятность ничего не поймать:

\[ q=1-\frac13=\frac23. \]

Рыбак делает \(4\) забрасывания. Случайная величина \(S\) — число пойманных рыб.

Возможные значения:

\[ S=0,\;1,\;2,\;3,\;4. \]

1. Ни одной пойманной рыбы

Все четыре забрасывания должны быть неудачными:

\[ P(S=0)=\left(\frac23\right)^4 =\frac{16}{81}. \]

2. Одна пойманная рыба

Одно удачное забрасывание и три неудачных:

\[ P(S=1)=C_4^1\cdot\frac13\cdot\left(\frac23\right)^3. \]

\[ P(S=1)=4\cdot\frac13\cdot\frac8{27} =\frac{32}{81}. \]

3. Две пойманные рыбы

Два успешных и два неуспешных забрасывания:

\[ P(S=2)=C_4^2\cdot\left(\frac13\right)^2 \cdot\left(\frac23\right)^2. \]

\[ P(S=2)=6\cdot\frac19\cdot\frac49 =\frac{24}{81}. \]

4. Три пойманные рыбы

Три удачных и одно неудачное забрасывание:

\[ P(S=3)=C_4^3\cdot\left(\frac13\right)^3\cdot\frac23. \]

\[ P(S=3)=4\cdot\frac1{27}\cdot\frac23 =\frac8{81}. \]

5. Четыре пойманные рыбы

Все четыре забрасывания должны быть удачными:

\[ P(S=4)=\left(\frac13\right)^4 =\frac1{81}. \]

Ряд распределения

\[ \begin{array}{c|ccccc} S&0&1&2&3&4\\ \hline P(S)& \frac{16}{81}& \frac{32}{81}& \frac{24}{81}& \frac{8}{81}& \frac{1}{81} \end{array} \]

Проверка:

\[ \frac{16+32+24+8+1}{81} =\frac{81}{81}=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{array}{c|ccccc} S&0&1&2&3&4\\ \hline P(S)& \frac{16}{81}& \frac{32}{81}& \frac{24}{81}& \frac{8}{81}& \frac{1}{81} \end{array}} \]

Главное правило

В каждом задании нужно:

1. Найти вероятность успеха \(p\).
2. Найти вероятность неудачи \(q=1-p\).
3. Определить число испытаний \(n\).
4. Для каждого возможного числа успехов \(k\) использовать формулу:

\[ \boxed{P(S=k)=C_n^k p^kq^{\,n-k}}. \]

5. Проверить, что сумма всех вероятностей равна \(1\).