Реши 6.6 6.8 6.10 1и3 номер
Разбираем подпункты 1 и 3 в упражнениях 6.6, 6.8 и 6.10.
Краткий ответ
- 6.6(1): график \(y=\sqrt{3x+1}\) начинается в точке \(\left(-\frac13;0\right)\) и идёт вправо вверх.
- 6.6(3): парабола с вершиной \(\left(\frac13;1\right)\), ось симметрии \(x=\frac13\).
- 6.8(1): график симметричен относительно оси \(Oy\), минимальная точка \((0;4)\).
- 6.8(3): график симметричен относительно оси \(Oy\), проходит через \((-2;0)\), \((0;\sqrt2)\), \((2;0)\).
- 6.10(1): график симметричен относительно прямой \(x=3\), вершина \((3;0)\).
- 6.10(3): график симметричен относительно прямой \(x=1\), вертикальные асимптоты \(x=-3\) и \(x=5\), горизонтальная асимптота \(y=0\).
6.6 № 1
\[ y=\sqrt{3x+1} \]
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ 3x+1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-\frac13. \]
Для построения удобно, чтобы \(3x+1\) принимало значения \(0,1,4,9\):
\[ \begin{array}{c|c|c} 3x+1 & x & y\\ \hline 0&-\frac13&0\\ 1&0&1\\ 4&1&2\\ 9&\frac83&3 \end{array} \]
График проходит через точки
\[ \left(-\frac13;0\right),\quad (0;1),\quad (1;2),\quad \left(\frac83;3\right). \]
Соединяем точки плавной возрастающей кривой.
\[ D(y)=\left[-\frac13;+\infty\right),\qquad E(y)=[0;+\infty). \]
6.6 № 3
\[ y=2(3x-1)^2+1 \]
Это парабола, ветви направлены вверх.
Вершина получается при
\[ 3x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac13, \]
поэтому
\[ \boxed{\left(\frac13;1\right)} \]
— вершина параболы, а её ось симметрии:
\[ \boxed{x=\frac13}. \]
Контрольные точки:
\[ \begin{array}{c|c} x&y\\ \hline -\frac13&9\\ 0&3\\ \frac13&1\\ \frac23&3\\ 1&9 \end{array} \]
График проходит через точки
\[ \left(-\frac13;9\right),\quad (0;3),\quad \left(\frac13;1\right),\quad \left(\frac23;3\right),\quad (1;9). \]
Область значений:
\[ E(y)=[1;+\infty). \]
6.8 № 1
\[ y=(|x|+2)^2 \]
Раскроем модуль:
\[ y= \begin{cases} (x+2)^2, & x\ge0,\\ (2-x)^2, & x<0. \end{cases} \]
Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).
Точки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&16&9&4&9&16 \end{array} \]
График проходит через точки
\[ (-2;16),\quad (-1;9),\quad (0;4),\quad (1;9),\quad (2;16). \]
Минимальное значение функции:
\[ \boxed{y_{\min}=4} \]
в точке \((0;4)\).
\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=[4;+\infty). \]
6.8 № 3
\[ y=\sqrt{2-|x|} \]
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ 2-|x|\ge0 \quad\Rightarrow\quad |x|\le2. \]
Значит,
\[ x\in[-2;2]. \]
Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).
Таблица точек:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&0&1&\sqrt2&1&0 \end{array} \]
График проходит через точки
\[ (-2;0),\quad (-1;1),\quad (0;\sqrt2),\quad (1;1),\quad (2;0). \]
Область определения и область значений:
\[ D(y)=[-2;2],\qquad E(y)=[0;\sqrt2]. \]
6.10 № 1
\[ y=\sqrt{|x-3|} \]
Раскроем модуль:
\[ y= \begin{cases} \sqrt{3-x}, & x\le3,\\ \sqrt{x-3}, & x\ge3. \end{cases} \]
График симметричен относительно прямой
\[ \boxed{x=3}. \]
Контрольные точки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-1&2&3&4&7\\ \hline y&2&1&0&1&2 \end{array} \]
То есть график проходит через
\[ (-1;2),\quad (2;1),\quad (3;0),\quad (4;1),\quad (7;2). \]
Вершина:
\[ \boxed{(3;0)}. \]
\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=[0;+\infty). \]
6.10 № 3
\[ y=\frac1{|x-1|-4} \]
Знаменатель не должен равняться нулю:
\[ |x-1|-4\ne0 \]
\[ |x-1|\ne4 \quad\Rightarrow\quad x\ne-3,\quad x\ne5. \]
Поэтому вертикальные асимптоты:
\[ \boxed{x=-3,\qquad x=5}. \]
При больших по модулю \(x\)
\[ y\to0, \]
поэтому горизонтальная асимптота:
\[ \boxed{y=0}. \]
Раскроем модуль:
\[ y= \begin{cases} -\dfrac1{x+3}, & x\le1,\ x\ne-3,\\[6pt] \dfrac1{x-5}, & x>1,\ x\ne5. \end{cases} \]
Функция симметрична относительно прямой \(x=1\).
Удобно взять \(t=|x-1|\):
\[ \begin{array}{c|c|c} t&x&y\\ \hline 0&1&-\frac14\\ 2&-1,\ 3&-\frac12\\ 3&-2,\ 4&-1\\ 5&-4,\ 6&1\\ 6&-5,\ 7&\frac12 \end{array} \]
Основные точки:
\[ \left(1;-\frac14\right),\quad \left(-1;-\frac12\right),\quad \left(3;-\frac12\right), \]
\[ (-2;-1),\quad (4;-1),\quad (-4;1),\quad (6;1). \]
Знак функции:
- при \(x<-3\) и \(x>5\): \(y>0\);
- при \(-3<x<5\): \(y<0\).
Область определения и область значений:
\[ D(y)=\mathbb R\setminus\{-3;5\}, \]
\[ E(y)=\left(-\infty;-\frac14\right]\cup(0;+\infty). \]
Проверка: точки симметричны относительно соответствующих осей, а ограничения для корней и знаменателя выполнены.
