реши номер 965
Краткий ответ: перенесите \(\vec p\) и \(\vec q\) параллельно самим себе так, чтобы их начала совпали в точке \(O\). Затем используйте правило сложения векторов.
Построение
Сначала запомните:
- \(2\vec p\) — направление как у \(\vec p\), длина в 2 раза больше;
- \(-2\vec p\) — направление противоположно \(\vec p\), длина в 2 раза больше;
- \(3\vec q\) — направление как у \(\vec q\), длина в 3 раза больше;
- \(-\frac12\vec q\) — направление противоположно \(\vec q\), длина в 2 раза меньше;
- \(\frac23\vec q\) — направление как у \(\vec q\), длина \(\frac23|\vec q|\);
- \(-\vec p\) — направление противоположно \(\vec p\), длина такая же.
Для суммы векторов можно откладывать их последовательно: второй вектор — от конца первого, а затем соединить начало первого с концом второго.
| Вектор | Последовательное построение |
|---|---|
| \(\vec m=2\vec p-\frac12\vec q\) | отложить \(2\vec p\), затем \(-\frac12\vec q\) |
| \(\vec n=\vec p+3\vec q\) | отложить \(\vec p\), затем \(3\vec q\) |
| \(\vec l=-2\vec p-\frac12\vec q\) | отложить \(-2\vec p\), затем \(-\frac12\vec q\) |
| \(\vec s=\frac23\vec q-\vec p\) | отложить \(\frac23\vec q\), затем \(-\vec p\) |
Если конечные точки полученных ломаных обозначить соответственно \(M,N,L,S\), то:
\[ \overrightarrow{OM}= 2\vec p-\frac12\vec q=\vec m, \]
\[ \overrightarrow{ON}= \vec p+3\vec q=\vec n, \]
\[ \overrightarrow{OL}= -2\vec p-\frac12\vec q=\vec l, \]
\[ \overrightarrow{OS}= \frac23\vec q-\vec p=\vec s. \]
Так построение проверяется: результирующий вектор должен быть направлен из \(O\) в конечную точку.
Обсуждение
8 сообщенийПервый вектор там идёт -1/2 вектора q, это сложение или вычитание векторов?
Первый вектор там идёт -1/2 вектора q, это сложение или вычитание векторов?
В выражении
\[ \vec m=2\vec p-\frac12\vec q \]
это вычитание вектора \(\frac12\vec q\).
Но при построении можно записать так:
\[ \vec m=2\vec p+\left(-\frac12\vec q\right). \]
То есть:
- отложить \(2\vec p\);
- от его конца отложить вектор \(-\frac12\vec q\).
Вектор \(-\frac12\vec q\) имеет длину \(\frac12|\vec q|\) и направление, противоположное \(\vec q\).
В выражении
\[ \vec m=2\vec p-\frac12\vec q \]
это вычитание векторов. Но строить его удобно как сложение противоположного вектора:
\[ 2\vec p-\frac12\vec q = 2\vec p+\left(-\frac12\vec q\right). \]
То есть после \(2\vec p\) нужно отложить вектор \(-\frac12\vec q\): он направлен противоположно \(\vec q\), а его длина в 2 раза меньше.
А конец вектора это где стрелка или без неё?
Конец вектора — там, где находится стрелка (наконечник).
Начало — с противоположной стороны, без стрелки.
В твоём построении:
- отложи \(2\vec p\);
- от его конца со стрелкой отложи \(-\frac12\vec q\);
- результирующий вектор идёт от самого первого начала до последнего конца со стрелкой.
Как отложить 2/3 от вектора?
Чтобы отложить \(\dfrac23\vec q\):
- Возьми длину вектора \(\vec q\) и раздели её на 3 равные части.
- От выбранной точки отложи 2 такие части.
- Направление оставь таким же, как у \(\vec q\), а стрелку поставь в конце.
То есть
\[ \left|\frac23\vec q\right|=\frac23|\vec q|. \]
Если в задаче строишь
\[ \vec s=\frac23\vec q-\vec p, \]
сначала откладываешь \(\dfrac23\vec q\), а от его конца — \(-\vec p\).
