Реши задание на изображении

Это продолжение текущего задания — задачи №241. На фото для неё задано:

\[ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{x}, & x<-2,\\[4pt] -x, & -2\le x\le 0,\\[4pt] \sqrt{x}, & x>0. \end{cases} \]

Строка сверху \(x,\; если\ x\ge1\) относится к предыдущей задаче.

Как построить график

1. \(y=-\dfrac4x,\; x<-2\)
   Левая часть гиперболы во II координатной четверти.
   Точка \((-2;2)\) — выколотая. Можно отметить точки: \[ (-4;1),\quad (-8;0{,}5). \]

2. \(y=-x,\; -2\le x\le0\)
   Отрезок прямой от точки \((-2;2)\) до точки \((0;0)\).
   Обе точки закрашенные.

3. \(y=\sqrt{x},\; x>0\)
   Правая часть графика корня. Точка \((0;0)\) для этой ветви выколота, но она уже закрашена из-за второго условия.
   Удобные точки: \[ (1;1),\quad (4;2),\quad (9;3). \]

Итог: гиперболическая ветвь слева, отрезок \(y=-x\) от \((-2;2)\) до \((0;0)\), затем ветвь \(y=\sqrt{x}\) вправо от начала координат.

Конечно. Разберём построение графика подробно.

На изображении дана функция:

\[ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{x}, & x<-2,\\[4pt] -x, & -2\le x\le 0,\\[4pt] \sqrt{x}, & x>0. \end{cases} \]

Это означает: формула функции зависит от того, в какой промежуток попадает \(x\).

1. Ветка \(y=-\dfrac4x\), если \(x<-2\)

Берём только такие значения \(x\), которые меньше \(-2\). Например:

\[ x=-4,\qquad x=-8. \]

Подставляем их в формулу:

\[ f(-4)=-\frac4{-4}=1. \]

Получаем точку:

\[ (-4;1). \]

Далее:

\[ f(-8)=-\frac4{-8}=\frac12=0{,}5. \]

Получаем точку:

\[ (-8;0{,}5). \]

Можно рассмотреть границу \(x=-2\):

\[ -\frac4{-2}=2. \]

Но первая формула действует только при \(x<-2\), поэтому значение \(x=-2\) в неё не входит. Для этой ветки точка \((-2;2)\) была бы выколотой.

График этой части — левая ветвь гиперболы, расположенная во II координатной четверти.

---

2. Ветка \(y=-x\), если \(-2\le x\le0\)

Здесь задан обычный линейный график, но только на отрезке от \(-2\) до \(0\).

Найдём координаты концов:

При \(x=-2\):

\[ y=-(-2)=2. \]

Получаем точку:

\[ (-2;2). \]

При \(x=0\):

\[ y=-0=0. \]

Получаем точку:

\[ (0;0). \]

Можно взять промежуточное значение \(x=-1\):

\[ y=-(-1)=1. \]

Получаем точку:

\[ (-1;1). \]

Все точки соединяются отрезком прямой:

\[ (-2;2)\longrightarrow(0;0). \]

Обе конечные точки закрашенные, потому что в условии стоят знаки:

\[ -2\le x\le0. \]

---

3. Ветка \(y=\sqrt{x}\), если \(x>0\)

Для квадратного корня удобно брать значения \(x\), являющиеся полными квадратами:

\[ 1,\;4,\;9,\;16. \]

Тогда корни будут целыми:

\[ \sqrt1=1,\qquad \sqrt4=2,\qquad \sqrt9=3,\qquad \sqrt{16}=4. \]

Получаем точки:

\[ (1;1),\quad(4;2),\quad(9;3),\quad(16;4). \]

Соединяем их плавной кривой, характерной для графика \(y=\sqrt{x}\).

Значение \(x=0\) для этой формулы не входит, потому что указано \(x>0\). Но точка \((0;0)\) всё равно есть на общем графике благодаря второй формуле, где \(0\) разрешён:

\[ -2\le x\le0. \]

---

Почему были выбраны именно такие координаты?

Координаты точки находятся так:

1. выбираем подходящее значение \(x\);
2. подставляем его в нужную формулу;
3. вычисляем \(y=f(x)\);
4. записываем точку \((x;y)\).

Например, для \(y=-\dfrac4x\):

\[ x=-4\Rightarrow y=1\Rightarrow(-4;1). \]

Для \(y=-x\):

\[ x=-1\Rightarrow y=1\Rightarrow(-1;1). \]

Для \(y=\sqrt{x}\):

\[ x=4\Rightarrow y=2\Rightarrow(4;2). \]

Итог

На одном чертеже нужно построить:

• левую часть гиперболы \(y=-\dfrac4x\) при \(x<-2\);
• отрезок прямой \(y=-x\) от \((-2;2)\) до \((0;0)\);
• ветвь \(y=\sqrt{x}\) при \(x>0\), начиная справа от точки \((0;0)\).