Реши все

Краткие ответы

1. а) \(135, 240, 325\); б) \(135, 594\).
2. \(1584=2^4\cdot3^2\cdot11\).
3. а) \(1\); б) \(12\); в) \(12\).
4. а) \(6\); б) \(30\); в) \(4680\).
5. \(\gcd(945;208)=1\), числа взаимно простые.
6. \(*=2,5,8\): числа \(2382,2385,2388\).
7. Если между \(0{,}57\) и \(1{,}8\) стоит «:», то ответ \(2{,}44(6)\).
8. \(135\) игрушек.

Решение

1. Признаки делимости

На \(5\) делятся числа, оканчивающиеся на \(0\) или \(5\):

\[ 135,\ 240,\ 325. \]

На \(9\) делятся числа, сумма цифр которых кратна \(9\):

\[ 1+3+5=9,\qquad 5+9+4=18. \]

Ответ:

\[ \text{а) }135,240,325;\qquad \text{б) }135,594. \]

---

2. Разложение на простые множители

\[ 1584=2\cdot792=2^2\cdot396=2^3\cdot198 =2^4\cdot99=2^4\cdot3^2\cdot11. \]

---

3. Наибольший общий делитель

\[ \gcd(5;6)=1, \]

\[ \gcd(12;24)=12. \]

Разложим третью пару:

\[ 180=2^2\cdot3^2\cdot5, \]

\[ 312=2^3\cdot3\cdot13. \]

Общие множители с наименьшими степенями:

\[ \gcd(180;312)=2^2\cdot3=12. \]

---

4. Наименьшее общее кратное

\[ \operatorname{НОК}(2;3)=6, \]

\[ \operatorname{НОК}(15;30)=30. \]

Для чисел \(180\) и \(312\) берём все простые множители с наибольшими степенями:

\[ \operatorname{НОК}(180;312) =2^3\cdot3^2\cdot5\cdot13 =4680. \]

---

5. Взаимно простые числа

\[ 945=3^3\cdot5\cdot7, \]

\[ 208=2^4\cdot13. \]

Общих простых множителей нет, поэтому:

\[ \gcd(945;208)=1. \]

Значит, числа \(945\) и \(208\) взаимно простые.

---

6. Подбор цифры

Число \(238*\) делится на \(3\), если сумма его цифр делится на \(3\):

\[ 2+3+8+*=13+*. \]

Подходят цифры:

\[ 13+2=15,\qquad 13+5=18,\qquad 13+8=21. \]

Поэтому:

\[ *=2,5,8. \]

Получаем числа:

\[ 2382,\quad2385,\quad2388. \]

---

7. Вычисление

Знак между \(0{,}57\) и \(1{,}8\) читаю как деление:

\[ 0{,}57:1{,}8+6{,}8\cdot0{,}35-0{,}25. \]

Сначала выполняем деление и умножение:

\[ 0{,}57:1{,}8=\frac{19}{60}, \]

\[ 6{,}8\cdot0{,}35=2{,}38. \]

Тогда:

\[ \frac{19}{60}+2{,}38-0{,}25 =\frac{19}{60}+2{,}13 =\frac{367}{150} =2{,}44(6). \]

Если вместо деления стоит точка умножения, результат будет \(3{,}156\).

---

8. Задача

Число игрушек делится и на \(9\), и на \(15\). Значит, оно должно быть кратно их НОК:

\[ 9=3^2,\qquad15=3\cdot5, \]

\[ \operatorname{НОК}(9;15)=3^2\cdot5=45. \]

Кратные \(45\), которые больше \(100\), но меньше \(140\):

\[ 45,\ 90,\ 135. \]

Подходит только \(135\).

Проверка:

\[ 135:9=15,\qquad135:15=9. \]

Ответ: \(135\) игрушек.