Шпаргалка к заданиям 1–5 «Квартира»

1. Масштаб и размеры

• Масштаб \(1:n\): настоящий размер
  \[ \text{размер на плане}\cdot n \]
• \(1\text{ м}=100\text{ см}\), \(1\text{ см}=0{,}01\text{ м}\).
• При масштабе \(1:100\): \(1\text{ см}\) на плане \(=1\text{ м}\).
• При масштабе \(1:200\): \(1\text{ см}\) на плане \(=2\text{ м}\).

2. Площадь и периметр

Прямоугольник: \[ S=ab,\qquad P=2(a+b) \]

Квадрат: \[ S=a^2,\qquad P=4a \]

Если помещение сложной формы — раздели его на прямоугольники, найди площади и сложи.

3. Проценты

Процент от числа: \[ a\cdot\frac{p}{100} \]

Увеличение на \(p\%\): \[ a\left(1+\frac p{100}\right) \]

Уменьшение на \(p\%\): \[ a\left(1-\frac p{100}\right) \]

На сколько процентов изменилось: \[ \frac{\text{новое}-\text{старое}}{\text{старое}}\cdot100\% \]

4. Плитка, ламинат, обои

Площадь одной детали: \[ S=ab \]

Площадь упаковки: \[ S_{\text{уп}}=S_{\text{одной детали}}\cdot\text{количество деталей} \]

Число упаковок: \[ N=\left\lceil\frac{S_{\text{помещения}}}{S_{\text{уп}}}\right\rceil \]

Всегда округляй в большую сторону: \(7{,}1\to8\).

Пример: \[ 5\cdot6=30\text{ м}^2 \] Если плитка \(0{,}4\times0{,}4\) м, в упаковке 8 штук: \[ 0{,}4\cdot0{,}4\cdot8=1{,}28\text{ м}^2 \]

5. Стоимость

\[ \text{Стоимость}=\text{цена за единицу}\cdot\text{количество} \]

Общая стоимость: \[ C=C_1+C_2+C_3 \]

Сравнение вариантов: \[ \text{разница}=\text{большая сумма}-\text{меньшая сумма} \]

Важно

• Все величины сначала переводи в одинаковые единицы.
• \(1\text{ м}^2=10\,000\text{ см}^2\).
• При покупке упаковок округляй вверх.
• Внимательно проверяй, что именно требуется: площадь, периметр, количество или стоимость.

Да, могу составить общую шпаргалку по всему пробнику. Пришли фото или напиши, это ОГЭ по математике и какие номера заданий входят — тогда я соберу формулы и алгоритмы именно под него.

Шпаргалка к ОГЭ по математике: задания 6–19

Нумерация в разных вариантах может немного отличаться, но темы обычно такие.

6–7. Числа и выражения

Порядок действий:
скобки → степени/корни → умножение и деление → сложение и вычитание.

\[ \frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc \]

\[ \frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd} \]

Степени:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn} \]

\[ a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad \sqrt{a^2}=|a| \]

Формулы сокращённого умножения:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

---

8. Уравнения

Линейное уравнение:

\[ ax+b=0\quad\Rightarrow\quad x=-\frac ba \]

Квадратное уравнение:

\[ ax^2+bx+c=0 \]

\[ D=b^2-4ac \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

Если уравнение разложено на множители:

\[ (x-a)(x-b)=0 \]

то

\[ x=a\quad\text{или}\quad x=b. \]

---

9. Неравенства

Решаются почти как уравнения, но:

При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Например:

\[ -2x>6\quad\Rightarrow\quad x<-3. \]

Для квадратного неравенства:

1. Найди корни.
2. Отметь их на числовой прямой.
3. Расставь знаки на промежутках.
4. Выбери нужные промежутки.

---

10. Функции и графики

Для прямой:

\[ y=kx+b \]

• \(k>0\) — функция возрастает;
• \(k<0\) — функция убывает;
• \(b\) — пересечение с осью \(Oy\);
• \(f(0)\) — координата по \(y\) при \(x=0\);
• нуль функции — точка пересечения с осью \(Ox\).

Для параболы:

\[ y=ax^2+bx+c \]

• \(a>0\) — ветви вверх;
• \(a<0\) — ветви вниз;
• ось симметрии:

\[ x=-\frac b{2a}. \]

---

11. Последовательности

Арифметическая прогрессия:

\[ a_n=a_1+(n-1)d \]

где \(d\) — разность прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов:

\[ S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}. \]

Геометрическая прогрессия:

\[ b_n=b_1q^{n-1} \]

где \(q\) — знаменатель прогрессии.

---

12. Вероятность и статистика

Вероятность события:

\[ P=\frac{\text{число благоприятных исходов}} {\text{общее число исходов}}. \]

Вероятность противоположного события:

\[ P(\overline A)=1-P(A). \]

Среднее арифметическое:

\[ \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}. \]

Размах:

\[ \text{размах}=\text{наибольшее число}-\text{наименьшее число}. \]

Медиана: расставь числа по возрастанию.

• нечётное количество — среднее число;
• чётное количество — среднее арифметическое двух средних чисел.

---

Геометрия: задания 13–19

Углы

\[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ \]

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В равностороннем треугольнике все углы по \(60^\circ\).

Вертикальные углы равны.

Смежные углы в сумме дают:

\[ 180^\circ. \]

---

Теорема Пифагора

Для прямоугольного треугольника:

\[ c^2=a^2+b^2 \]

где \(c\) — гипотенуза.

---

Площади

Прямоугольник:

\[ S=ab \]

Квадрат:

\[ S=a^2 \]

Треугольник:

\[ S=\frac12 ah \]

Параллелограмм:

\[ S=ah \]

Трапеция:

\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h \]

Ромб:

\[ S=\frac{d_1d_2}{2} \]

Круг:

\[ S=\pi R^2 \]

Длина окружности:

\[ C=2\pi R. \]

---

Четырёхугольники

Параллелограмм:

• противоположные стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали делятся пополам.

Прямоугольник:

• все углы по \(90^\circ\);
• диагонали равны.

Ромб:

• все стороны равны;
• диагонали перпендикулярны;
• диагонали делят углы пополам.

---

Подобие треугольников

Если треугольники подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны:

\[ \frac{AB}{A_1B_1}= \frac{BC}{B_1C_1}= \frac{AC}{A_1C_1}. \]

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_1}{S_2}=k^2. \]

---

Окружность

• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

---

Координаты

Расстояние между точками:

\[ AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. \]

Середина отрезка:

\[ x_{\text{ср}}=\frac{x_1+x_2}{2},\qquad y_{\text{ср}}=\frac{y_1+y_2}{2}. \]

Что проверить в конце

• Все ли величины в одинаковых единицах?
• Не изменился ли знак неравенства?
• Приблизительно подходит ли ответ?
• В задаче на количество предметов округлять нужно в большую сторону.
• Площадь записывается в квадратных единицах: \(\text{см}^2,\ \text{м}^2\).

Пожалуйста! Удачи на пробнике — у тебя всё получится 🫶