Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(y=-x^2+3x-2\): вершина \(\left(\frac32;\frac14\right)\), нули \(x=1\) и \(x=2\), ветви направлены вниз.
- \(y=x^2-4x+3\): вершина \((2;-1)\), нули \(x=1\) и \(x=3\), ветви направлены вверх.
- Одна общая точка с параболой имеет прямая \(\boxed{y=-7}\).
- Наименьшее значение функции равно \(\boxed{-1}\).
Решение
Задача 1
Приведём функцию к виду с выделенным квадратом:
\[ y=-x^2+3x-2=-\left(x-\frac32\right)^2+\frac14. \]
Значит:
- вершина параболы:
\[ V\left(\frac32;\frac14\right); \] - ось симметрии:
\[ x=\frac32; \] - ветви направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный.
Найдём точки пересечения с осью \(Ox\):
\[ -x^2+3x-2=0, \]
\[ -(x-1)(x-2)=0. \]
Отсюда:
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Точки: \((1;0)\) и \((2;0)\).
Для построения можно использовать таблицу:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&\frac32&2&3\\ \hline y&-2&0&\frac14&0&-2 \end{array} \]
Нужно отметить эти точки и соединить их плавной параболой, направленной вниз.
Задача 2
Выделим полный квадрат:
\[ y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Значит:
- вершина:
\[ V(2;-1); \] - ось симметрии:
\[ x=2; \] - ветви направлены вверх.
Найдём нули функции:
\[ x^2-4x+3=0, \]
\[ (x-1)(x-3)=0. \]
Отсюда точки пересечения с осью \(Ox\):
\[ (1;0),\qquad (3;0). \]
Таблица точек:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&3&0&-1&0&3 \end{array} \]
По этим точкам строится парабола с ветвями вверх.
Задача 3
Преобразуем функцию:
\[ y=-x^2+2x-8=-(x-1)^2-7. \]
Вершина параболы имеет координаты:
\[ (1;-7). \]
Парабола направлена вниз, поэтому её наибольшее значение равно \(-7\). Горизонтальная прямая \(y=-7\) касается параболы в вершине и имеет с ней одну общую точку:
\[ \boxed{y=-7}. \]
Задача 4
\[ y=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1. \]
Так как
\[ (x-1)^2\ge 0, \]
то
\[ 3(x-1)^2\ge 0. \]
Следовательно,
\[ y=3(x-1)^2-1\ge -1. \]
Равенство достигается при \(x=1\). Поэтому наименьшее значение функции:
\[ \boxed{-1}. \]
