Номер 8.17 под 1 и 2
Краткий ответ:
\(\boxed{x\in[1;3)}\)
\(\boxed{x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty)}\)
1) \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3}\le 0\)
Критические точки:
- \(x=1\) и \(x=2\) — нули числителя;
- \(x=3\) — знаменатель равен нулю, эту точку исключаем.
Так как \((x-2)^2\ge 0\), знак выражения определяется в основном дробью \(\frac{x-1}{x-3}\).
Знаки на промежутках:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;1)&1&(1;2)&2&(2;3)&3&(3;+\infty)\\ \hline \text{знак}&+&0&-&0&-&\text{не сущ.}&+ \end{array} \]
Нужно взять отрицательные значения и нули:
\[ \boxed{x\in[1;3)}. \]
Проверка: при \(x=1\) и \(x=2\) выражение равно нулю, а \(x=3\) исключается из ОДЗ.
2) \(\displaystyle \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5}\ge 0\)
Критические точки:
- \(x=-2\) и \(x=1\) — нули числителя;
- \(x=5\) — знаменатель равен нулю, точку исключаем.
Знаки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-2)&-2&(-2;1)&1&(1;5)&5&(5;+\infty)\\ \hline \text{знак}&+&0&-&0&-&\text{не сущ.}&+ \end{array} \]
Берём положительные значения и нули:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty)}. \]
Точка \(x=1\) включается отдельно, потому что числитель равен нулю.
Обсуждение
3 сообщенияПоказать как нарисовать плюсы и минусы?
Да. Знаки расставляют на числовой прямой по нулевым точкам числителя и точкам, где знаменатель равен нулю.
1) \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3}\le 0\)
Отмечаем точки:
- \(1\) и \(2\) — числитель равен нулю;
- \(3\) — знаменатель равен нулю, точка исключается.
Получается:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;1)&1&(1;2)&2&(2;3)&3&(3;+\infty)\\ \hline \text{знак}&+&0&-&0&-&\text{не существует}&+ \end{array} \]
На прямой это можно записать так:
\[ \boxed{+\quad|\quad 0\quad|\quad-\quad|\quad0\quad|\quad-\quad|\quad+\;} \]
\[ \hspace{35mm}1\qquad\quad 2\qquad\quad 3 \]
Точка \(3\) выколота, потому что знаменатель равен нулю:
\[ \boxed{x\in[1;3)}. \]
Почему около \(2\) знак не меняется? Потому что множитель \((x-2)^2\) имеет чётную степень.
2) \(\displaystyle \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5}\ge 0\)
Отмечаем точки:
- \(-2\) и \(1\) — нули числителя;
- \(5\) — знаменатель равен нулю.
Таблица знаков:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-2)&-2&(-2;1)&1&(1;5)&5&(5;+\infty)\\ \hline \text{знак}&+&0&-&0&-&\text{не существует}&+ \end{array} \]
На прямой:
\[ \boxed{+\quad|\quad0\quad|\quad-\quad|\quad0\quad|\quad-\quad|\quad+\;} \]
\[ \hspace{25mm}-2\qquad\quad 1\qquad\quad 5 \]
Так как требуется \(\ge 0\), берём плюсы и нули:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty)}. \]
В точках \(-2\) и \(1\) ставим закрашенные точки, а в точке \(5\) — выколотую.
Номер 8.13 под 1 и 3
