Реши задание на изображении
Анализ математических взаимосвязей
Я решаю задачу, в которой установил некоторые уравнения: \(xy = 1/8\) (или 0.125). Используя это, я нахожу \((x+y)^2 = 9/16\) и \((x-y)^2 = 1/16\). Отсюда я могу независимо комбинировать знаки и получить четыре пары решений.
Пары дают такие результаты, как \((1/2, 1/4)\) и \((1/4, 1/2)\), а также отрицательные решения. Я хочу убедиться, что учёл всё правильно!
Решение уравнений
Я решаю некоторые уравнения: начиная с \(y^2 = 0.75\) и \(xy = -0.5\). Думаю, что могу выразить \((x-y)(x+y) = 3/4\) и использовать квадраты. После нескольких вычислений я нахожу \(x^2 + y^2 = 5/4\) и \(x+y = \pm 1/2\), что приводит к значениям для \(x\) и \(y\). Затем я займусь дополнительными системами. Мне следует сосредоточиться на первой и третьей системах, исходя из подсказки пользователя о синем круге вокруг них.
Краткий ответ
\(\left(\frac12;\frac14\right),\left(\frac14;\frac12\right),\left(-\frac12;-\frac14\right),\left(-\frac14;-\frac12\right)\).
\((1;-\frac12),(-\frac12;1),(\frac12;-1),(-1;\frac12)\).
\((3;1),(1;3),(-3;-1),(-1;-3)\).
\((6;5),(6;-5),(-6;5),(-6;-5)\).
Решение
Используем формулы:
\[ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy, \qquad (x-y)^2=x^2+y^2-2xy. \]
1)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=\frac5{16},\\ xy=0{,}125=\frac18. \end{cases} \]
Тогда
\[ (x+y)^2=\frac5{16}+2\cdot\frac18 =\frac5{16}+\frac4{16}=\frac9{16}, \]
\[ x+y=\pm\frac34. \]
Также
\[ (x-y)^2=\frac5{16}-\frac4{16}=\frac1{16}, \qquad x-y=\pm\frac14. \]
Так как
\[ x=\frac{(x+y)+(x-y)}2,\qquad y=\frac{(x+y)-(x-y)}2, \]
получаем:
\[ \boxed{\left(\frac12;\frac14\right), \left(\frac14;\frac12\right), \left(-\frac12;-\frac14\right), \left(-\frac14;-\frac12\right)}. \]
Проверка:
\[ x^2+y^2=\frac14+\frac1{16}=\frac5{16}, \qquad xy=\frac18=0{,}125. \]
2)
\[ \begin{cases} x^2-y^2=0{,}75=\frac34,\\ xy=-0{,}5=-\frac12. \end{cases} \]
Найдём \(x^2+y^2\):
\[ (x^2+y^2)^2=(x^2-y^2)^2+4x^2y^2. \]
\[ (x^2+y^2)^2= \left(\frac34\right)^2+4\left(-\frac12\right)^2 =\frac9{16}+1=\frac{25}{16}. \]
Значит,
\[ x^2+y^2=\frac54. \]
Теперь:
\[ (x+y)^2=\frac54+2\left(-\frac12\right)=\frac14, \qquad x+y=\pm\frac12; \]
\[ (x-y)^2=\frac54-2\left(-\frac12\right)=\frac94, \qquad x-y=\pm\frac32. \]
Отсюда:
\[ \boxed{(1;-\frac12),\;(-\frac12;1),\; (\frac12;-1),\;(-1;\frac12)}. \]
Проверка для каждой пары:
\[ x^2-y^2=\frac34,\qquad xy=-\frac12. \]
3)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=10,\\ xy=3. \end{cases} \]
\[ (x+y)^2=10+2\cdot3=16, \qquad x+y=\pm4; \]
\[ (x-y)^2=10-2\cdot3=4, \qquad x-y=\pm2. \]
Получаем:
\[ \boxed{(3;1),\;(1;3),\;(-3;-1),\;(-1;-3)}. \]
Проверка:
\[ 3^2+1^2=10,\qquad 3\cdot1=3. \]
У остальных пар квадраты и произведение имеют те же значения.
4)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=61,\\ x^2-y^2=11. \end{cases} \]
Сложим уравнения:
\[ 2x^2=72,\qquad x^2=36,\qquad x=\pm6. \]
Вычтем второе уравнение из первого:
\[ 2y^2=50,\qquad y^2=25,\qquad y=\pm5. \]
Знаки выбираются независимо:
\[ \boxed{(6;5),\;(6;-5),\;(-6;5),\;(-6;-5)}. \]
Проверка:
\[ 6^2+5^2=36+25=61, \qquad 6^2-5^2=36-25=11. \]
