Номер 8.13 под 1 и 3

Краткий ответ:

1. \[ x\in(-\infty;\,-2)\cup[-1;\,+\infty) \]

2. \[ x\in(-\infty;\,0)\cup(4;\,+\infty) \]

1) \(\displaystyle \frac1{x+2}\le1\)

ОДЗ: \(x\ne-2\).

Перенесём \(1\) в левую часть:

\[ \frac1{x+2}-1\le0 \]

\[ \frac{1-(x+2)}{x+2}\le0 \]

\[ \frac{-x-1}{x+2}\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x+1}{x+2}\ge0. \]

Критические точки:

• \(x=-1\) — числитель равен нулю, точка включается;
• \(x=-2\) — знаменатель равен нулю, точка исключается.

Знак дроби неотрицателен на промежутках:

\[ \boxed{(-\infty;\,-2)\cup[-1;\,+\infty)}. \]

Проверка: при \(x=-1\) получаем \(1\le1\), верно.

3) \(\displaystyle \frac{5x+8}{4-x}<2\)

ОДЗ: \(x\ne4\).

Перенесём \(2\) в левую часть:

\[ \frac{5x+8}{4-x}-2<0 \]

\[ \frac{5x+8-2(4-x)}{4-x}<0 \]

\[ \frac{7x}{4-x}<0. \]

Критические точки:

• \(x=0\) — числитель равен нулю;
• \(x=4\) — знаменатель равен нулю.

Проверяем знаки:

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;0) & (0;4) & (4;+\infty)\\ \hline \dfrac{7x}{4-x} & - & + & - \end{array} \]

Нужен знак «минус», поэтому:

\[ \boxed{(-\infty;\,0)\cup(4;\,+\infty)}. \]

\(x=0\) не включается, потому что неравенство строгое, а \(x=4\) исключается из ОДЗ.