номер 8.13 под 1 и 3

Краткий ответ:

1. \(\boxed{x\in(-\infty;-2)\cup[-1;+\infty)}\)

2. \(\boxed{x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)}\)

1) \(\dfrac1{x+2}\le 1\)

ОДЗ: \(x\ne -2\).

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac1{x+2}-1\le0 \]

\[ \frac{1-(x+2)}{x+2}\le0 \]

\[ \frac{-x-1}{x+2}\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x+1}{x+2}\ge0. \]

Критические точки:

• \(x=-2\) — знаменатель, точка не входит;
• \(x=-1\) — числитель равен нулю, точка входит.

Знаки выражения положительны на промежутках:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup[-1;+\infty)}. \]

Проверка: при \(x=-1\)

\[ \frac1{-1+2}=1, \]

равенство выполняется.

3) \(\dfrac{5x+8}{4-x}<2\)

ОДЗ: \(x\ne4\).

Перенесём \(2\) в левую часть:

\[ \frac{5x+8}{4-x}-2<0 \]

\[ \frac{5x+8-2(4-x)}{4-x}<0 \]

\[ \frac{7x}{4-x}<0. \]

Критические точки:

• \(x=0\) — числитель равен нулю;
• \(x=4\) — знаменатель равен нулю, точка не входит.

Проверяем знаки на промежутках:

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;0) & (0;4) & (4;+\infty)\\ \hline \dfrac{7x}{4-x} & - & + & - \end{array} \]

Так как требуется значение меньше нуля:

\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)}. \]

При \(x=0\) получается равенство \(2<2\), оно неверно, поэтому \(0\) не входит.