реши

Краткие ответы

Верхняя строка на фото: \[ x^4-5x^2+4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1,\ \pm2. \]

3.

1. а) \(x=-\frac5{11}\);
   б) \(x=-18\);
   в) \(x=\frac53\);
   г) \(x=\frac47\).

2. а) \(x=\frac32,\ -\frac73\);
   б) действительных корней нет;
   в) \(x=8,\ -\frac23\);
   г) \(x=\pm5\).

Решение

Верхняя строка

Сделаем замену \(t=x^2\): \[ x^4-5x^2+4=0 \Longrightarrow t^2-5t+4=0. \] \[ (t-1)(t-4)=0, \] поэтому \(t=1\) или \(t=4\). Значит, \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]

1)

а) \[ (12x+1)(3x-1)-(6x+2)^2=10. \] \[ 36x^2-9x-1-(36x^2+24x+4)=10, \] \[ -33x-5=10, \] \[ x=-\frac5{11}. \]

Проверка: \[ -33\left(-\frac5{11}\right)-5=10. \]

б) \[ (3x+7)(3x-7)-3x(3x+1)=5. \] \[ 9x^2-49-9x^2-3x=5, \] \[ -3x-49=5, \] \[ x=-18. \]

в) \[ \frac{6x-1}{4}-\frac{3x+1}{3}=\frac14. \] Умножим на \(12\): \[ 3(6x-1)-4(3x+1)=3. \] \[ 18x-3-12x-4=3, \] \[ 6x=10, \qquad x=\frac53. \]

Проверка: \[ \frac94-2=\frac14. \]

г) \[ \frac{x(2-x)}2+\frac{x(3+2x)}4=1. \] Умножим на \(4\): \[ 2x(2-x)+x(3+2x)=4. \] \[ 4x-2x^2+3x+2x^2=4, \] \[ 7x=4, \qquad x=\frac47. \]

Проверка: \[ \frac{20}{49}+\frac{29}{49}=1. \]

2)

а) \[ (6x-1)(x+1)=20. \] \[ 6x^2+5x-1=20, \] \[ 6x^2+5x-21=0. \] Разложим на множители: \[ (3x+7)(2x-3)=0. \] Отсюда \[ x=-\frac73 \quad\text{или}\quad x=\frac32. \]

б) \[ (x-7)(x+7)-11x-30=(x+5)^2+(x-2)^2. \] Раскроем скобки: \[ x^2-11x-79=2x^2+6x+29. \] \[ x^2+17x+108=0. \] Дискриминант: \[ D=17^2-4\cdot108=289-432=-143<0. \] Следовательно, действительных корней нет.

в) \[ \frac{x^2}{16}-\frac{x}{8}=\frac{x+1}{3}. \] Умножим на \(48\): \[ 3x^2-6x=16x+16, \] \[ 3x^2-22x-16=0. \] \[ (3x+2)(x-8)=0. \] Поэтому \[ x=-\frac23 \quad\text{или}\quad x=8. \]

г) \[ 17-2x+\frac{x(3x+4)}2=54\frac12=\frac{109}{2}. \] Умножим на \(2\): \[ 34-4x+x(3x+4)=109. \] \[ 34-4x+3x^2+4x=109, \] \[ 3x^2=75, \] \[ x^2=25, \qquad x=\pm5. \]

Принцип: сначала раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые; дроби убираем умножением на общий знаменатель; квадратные уравнения решаем разложением на множители или через дискриминант.