Напиши ответ с решением (программой)

Краткий ответ:

1. \(S=19\).
2. \(S=15\) и \(S=18\), ответ без разделителей: 1518.
3. Максимальное значение \(S\): 17.

Решение

За ход можно получить:

\[ S+1,\quad S+4,\quad 2S. \]

Выигрыш за один ход возможен при \(S\ge 20\), поэтому выигрышные позиции для игрока, который ходит сейчас:

\[ 20\le S\le 39. \]

Задание 1

Петя не может выиграть первым ходом, но после любого его хода Ваня должен иметь возможность выиграть сразу.

Все ходы из \(S\) должны привести к числу не меньше 20:

\[ S+1\ge20,\quad S+4\ge20,\quad 2S\ge20. \]

При условии \(S<20\) подходит только:

\[ \boxed{S=19}. \]

Из 19 Петя получает 20, 23 или 38, и Ваня сразу удваивает количество камней.

Задание 2

Петя должен первым ходом получить позицию 19. Тогда после любого хода Вани получится 20, 23 или 38, и Петя выиграет следующим ходом.

Получить 19 можно из:

\[ 15+4=19,\qquad 18+1=19. \]

Ответ:

\[ \boxed{1518}. \]

Задание 3

Ваня может выиграть за один или два своих хода из позиций:

\[ 15,\ 18,\ 20,\ldots,39. \]

Проверяем ходы Пети:

• \(S=14\): \(15,18,28\);
• \(S=17\): \(18,21,34\);
• \(S=19\): \(20,23,38\), но здесь Ваня выигрывает уже за один ход.

Значит, подходят \(S=14\) и \(S=17\). Максимальное:

\[ \boxed{17}. \]

Программа на Python

def moves(s):
    return (s + 1, s + 4, 2 * s)


# Текущий игрок может выиграть своим первым ходом
def win_one(s):
    return any(x >= 40 for x in moves(s))


# Текущий игрок выигрывает своим вторым ходом,
# но не может выиграть первым
def win_two(s):
    if win_one(s):
        return False

    # Первый ход ведёт в x.
    # После любого хода соперника y текущий игрок
    # должен иметь возможность выиграть сразу.
    return any(
        x < 40 and
        all(y < 40 and win_one(y) for y in moves(x))
        for x in moves(s)
    )


def win_one_or_two(s):
    return win_one(s) or win_two(s)


# Ваня выигрывает сразу после любого первого хода Пети
def vanya_one(s):
    return all(x < 40 and win_one(x) for x in moves(s))


# Ваня выигрывает за один или два своих хода
def vanya_one_or_two(s):
    return all(x < 40 and win_one_or_two(x) for x in moves(s))


values = range(1, 40)

answer_1 = [
    s for s in values
    if not win_one(s) and vanya_one(s)
]

answer_2 = [
    s for s in values
    if win_two(s)
]

answer_3 = [
    s for s in values
    if vanya_one_or_two(s) and not vanya_one(s)
]

print("1)", answer_1)
print("2)", "".join(map(str, answer_2)))
print("3)", max(answer_3))

Вывод программы:

1) [19]
2) 1518
3) 17