Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(1)\ 4;\ 2)\ 6;\ 3)\ 1;\ 4)\ 0.\)

2. \(1)\ -1;\ 2)\ -3;\ 3)\ \dfrac12;\ 4)\ -\dfrac12.\)

3. \(1)\ -2;\ 2)\ -1;\ 3)\ \dfrac14;\ 4)\ -\dfrac14.\)

4. \(1)\ 5;\ 2)\ -2;\ 3)\ 3;\ 4)\ 1;\ 5)\ 0;\ 6)\ -\dfrac13.\)

5. \(1)\ 4;\ 2)\ 3;\ 3)\ -2;\ 4)\ -3.\)

6. \(1)\ -3;\ 2)\ -3;\ 3)\ 3;\ 4)\ -2.\)

7. а) \(4\); б) \(5\); в) \(-\dfrac73\); г) \(-6\).

8. а) \(0\); б) \(\dfrac52\); в) \(9\); г) \(-\dfrac13\).

9. а) \(72\); б) \(28\); в) \(\dfrac59\); г) \(\dfrac{49}{2}\).

10. \(1)\ 18;\ 2)\ 16;\ 3)\ 2;\ 4)\ 6.\)

11. \(1)\ 32;\ 2)\ 64;\ 3)\ 36;\ 4)\ 3.\)

12. \(1)\ 125;\ 2)\ 144;\ 3)\ 49;\ 4)\ 1.\)

Ключевой принцип

\[ \log_a b=x\Longleftrightarrow a^x=b. \]

То есть нужно представить аргумент логарифма как степень его основания.

Решение

1–3.

\[ 16=2^4,\quad 64=2^6,\quad 2=2^1,\quad 1=2^0. \]

Отсюда ответы: \(4,6,1,0\).

\[ \frac12=2^{-1},\quad \frac18=2^{-3},\quad \sqrt2=2^{1/2},\quad \frac1{\sqrt2}=2^{-1/2}. \]

Отсюда: \(-1,-3,\dfrac12,-\dfrac12\).

\[ \frac19=3^{-2},\quad \frac13=3^{-1},\quad \sqrt[4]{3}=3^{1/4},\quad \frac1{\sqrt[4]{3}}=3^{-1/4}. \]

Отсюда: \(-2,-1,\dfrac14,-\dfrac14\).

4. Основание \(\dfrac12=2^{-1}\):

\[ \frac1{32}=2^{-5},\quad 4=2^2,\quad 0{,}125=2^{-3},\quad \frac12=2^{-1}, \] \[ 1=2^0,\qquad \sqrt[3]{2}=2^{1/3}. \]

При делении показателей на \(-1\) получаем:

\[ 5,\ -2,\ 3,\ 1,\ 0,\ -\frac13. \]

5–6.

\[ 625=5^4,\quad 216=6^3,\quad \frac1{16}=4^{-2},\quad \frac1{125}=5^{-3}. \]

Для шестого номера:

\[ 125=\left(\frac15\right)^{-3},\quad 27=\left(\frac13\right)^{-3}, \] \[ \frac1{64}=\left(\frac14\right)^3,\quad 36=\left(\frac16\right)^{-2}. \]

7.

\[ 49=(\sqrt7)^4; \]

\[ 2\sqrt8=4\sqrt2=(\sqrt2)^5; \]

\[ 225\sqrt[3]{15} =15^2\cdot15^{1/3} =15^{7/3} =\left(\frac1{15}\right)^{-7/3}; \]

\[ \frac{64}{729}=\left(\frac23\right)^6 =\left(\frac32\right)^{-6}. \]

8.

\[ 1=(\sqrt2)^0; \]

\[ \frac1{4\sqrt2}=2^{-5/2}=(0{,}5)^{5/2}; \]

\[ 81\sqrt3=3^4\cdot3^{1/2} =3^{9/2}=(\sqrt3)^9; \]

\[ \lg\frac1{\sqrt[3]{10}} =\log_{10}10^{-1/3} =-\frac13. \]

9. Используем правило

\[ a^{m+\log_a b}=a^m\cdot b. \]

\[ 2^{3+\log_2 9}=2^3\cdot9=72; \]

\[ 7^{1+\log_7 4}=7\cdot4=28; \]

\[ \left(\frac16\right)^{2+\log_{1/6}20} =\frac1{36}\cdot20=\frac59; \]

\[ (\sqrt7)^{4+\log_{\sqrt7}0{,}5} =(\sqrt7)^4\cdot0{,}5 =49\cdot\frac12=\frac{49}{2}. \]

10. Используем

\[ a^{\log_a b}=b. \]

Поэтому получаем соответственно:

\[ 18,\quad16,\quad2,\quad6. \]

11. Используем

\[ a^{k\log_a b}=b^k. \]

\[ 3^{5\log_3 2}=2^5=32; \]

\[ \left(\frac12\right)^{6\log_{1/2}2}=2^6=64; \]

\[ 0{,}3^{2\log_{0,3}6}=6^2=36; \]

\[ 7^{\frac12\log_7 9}=9^{1/2}=3. \]

12.

\[ 8=2^3\Rightarrow 8^{\log_2 5}=5^3=125; \]

\[ 9=3^2\Rightarrow 9^{\log_3 12}=12^2=144; \]

\[ 16=4^2\Rightarrow 16^{\log_4 7}=7^2=49; \]

\[ \log_{0,5}1=0\Rightarrow 0{,}125^{\log_{0,5}1}=0{,}125^0=1. \]

Проверка выполняется обратной операцией: например,

\[ \left(\frac32\right)^{-6} =\left(\frac23\right)^6 =\frac{64}{729}, \]

значит в пункте 7г ответ \(-6\) верный.