Реши задание на изображении
Краткий ответ
\(4;\ 6;\ 1;\ 0\).
\(-1;\ -3;\ \dfrac12;\ -\dfrac12\).
\(-2;\ -1;\ \dfrac14;\ -\dfrac14\).
\(5;\ -2;\ 3;\ 1;\ 0;\ -\dfrac13\).
\(4;\ 3;\ -2;\ -3\).
\(-3;\ -3;\ 3;\ -2\).
а) \(4\); б) \(5\); в) \(-\dfrac73\); г) \(6\).
а) \(0\); б) \(\dfrac52\); в) \(9\); г) \(-\dfrac13\).
а) \(72\); б) \(28\); в) \(\dfrac59\); г) \(\dfrac{49}{2}\).
\(18;\ 16;\ 2;\ 6\).
\(32;\ 64;\ 36;\ 3\).
\(125;\ 144;\ 49;\ 1\).
Ключевые шаги
Основное правило:
\[ \log_a b=x \Longleftrightarrow a^x=b. \]
Задания 1–3
Представляем аргументы как степени основания:
\[ 16=2^4,\quad 64=2^6,\quad \sqrt2=2^{1/2}, \]
\[ \frac19=3^{-2},\quad \frac13=3^{-1},\quad \sqrt[4]{3}=3^{1/4}. \]
Например:
\[ \log_2\frac1{\sqrt2} =\log_2 2^{-1/2} =-\frac12. \]
Задания 4–6
Для основания \(\frac12\):
\[ \left(\frac12\right)^x=2^{-x}. \]
Например:
\[ \log_{\frac12}\frac1{32}=5, \]
так как
\[ \left(\frac12\right)^5=\frac1{32}. \]
Также:
\[ \log_{\frac12}\sqrt[3]{2}=-\frac13, \]
поскольку
\[ \left(\frac12\right)^{-1/3}=2^{1/3}=\sqrt[3]{2}. \]
Задания 7–8
\[ 2\sqrt8=2\cdot2^{3/2}=2^{5/2}, \]
поэтому
\[ \log_{\sqrt2}(2\sqrt8) =\frac{5/2}{1/2}=5. \]
\[ 225\sqrt[3]{15} =15^2\cdot15^{1/3} =15^{7/3}, \]
следовательно,
\[ \log_{1/15}\left(225\sqrt[3]{15}\right) =\frac{7/3}{-1}=-\frac73. \]
Кроме того,
\[ \frac{64}{729}=\left(\frac23\right)^6, \]
поэтому соответствующий логарифм равен \(6\).
Задания 9–12
Используем свойства:
\[ a^{u+\log_a b}=a^u\cdot b, \]
\[ a^{k\log_a b}=b^k. \]
Например:
\[ 2^{3+\log_2 9}=2^3\cdot9=72, \]
\[ \left(\frac16\right)^{2+\log_{1/6}20} =\left(\frac16\right)^2\cdot20 =\frac{20}{36}=\frac59, \]
\[ 7^{\frac12\log_7 9} =9^{1/2}=3. \]
Проверка нетривиальных результатов:
\[ \left(\frac1{15}\right)^{-7/3} =15^{7/3}=225\sqrt[3]{15}, \]
\[ (\sqrt3)^9=3^{9/2}=81\sqrt3. \]
