Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle \frac{4b+9}{6b}+\frac{2b-3}{6b}=\frac{b+1}{b}\), \(b\ne0\).
2. \(\displaystyle x-\frac{x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}\), \(x\ne-1\).
3. \(\displaystyle \frac{a}{a-3}+\frac{3}{3-a}=1\), \(a\ne3\).
4. \(\displaystyle \frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\), \(x\ne y,\ x\ne-y\).
5. \(\displaystyle \frac{x-9}{x^2-9}-\frac{3}{3x-x^2}=\frac{x-3}{x(x+3)}\), \(x\ne-3,0,3\).

Решение

1. Знаменатели одинаковые, складываем числители:

\[ \frac{4b+9+2b-3}{6b} =\frac{6b+6}{6b} =\frac{b+1}{b}. \]

2. Приводим \(x\) к знаменателю \(x+1\):

\[ x-\frac{x}{x+1} =\frac{x(x+1)-x}{x+1} =\frac{x^2+x-x}{x+1} =\frac{x^2}{x+1}. \]

3. Заметим, что \(3-a=-(a-3)\):

\[ \frac{a}{a-3}+\frac{3}{3-a} =\frac{a}{a-3}-\frac{3}{a-3} =\frac{a-3}{a-3}=1. \]

4. Общий знаменатель:

\[ \frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y} = \frac{x(x-y)+y(x+y)}{(x+y)(x-y)}. \]

Раскрываем скобки:

\[ \frac{x^2-xy+xy+y^2}{x^2-y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}. \]

5. Разложим знаменатели на множители:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3),\qquad 3x-x^2=x(3-x)=-x(x-3). \]

Тогда

\[ \frac{x-9}{(x-3)(x+3)} +\frac{3}{x(x-3)}. \]

Общий знаменатель \(x(x-3)(x+3)\):

\[ \frac{x(x-9)+3(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-6x+9}{x(x-3)(x+3)}. \]

Так как \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), сокращаем:

\[ \frac{(x-3)^2}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{x(x+3)}. \]

При сокращении значение \(x=3\) всё равно остаётся запрещённым, поскольку исходное выражение при \(x=3\) не имеет смысла.