Объяснение темы квадрат и куб квадратные кубические корни для 8 класса
Кратко
- Квадрат числа: \(a^2=a\cdot a\).
- Куб числа: \(a^3=a\cdot a\cdot a\).
- Квадратный корень из \(a\) — неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\): \[ \sqrt a=x \Longleftrightarrow x^2=a,\quad a\ge 0. \]
- Кубический корень из \(a\) — число, куб которого равен \(a\): \[ \sqrt[3]{a}=x \Longleftrightarrow x^3=a. \]
1. Квадрат и куб числа
Квадрат
\[ 5^2=5\cdot5=25 \]
\[ (-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25 \]
Квадрат отрицательного числа тоже положительный.
Куб
\[ 3^3=3\cdot3\cdot3=27 \]
\[ (-3)^3=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-27 \]
При возведении в куб знак числа сохраняется.
2. Квадратный корень
\[ \sqrt{25}=5, \]
потому что \(5^2=25\).
Важно:
\[ \sqrt{25}=5, \]
а не \(\pm5\). Знак \(\pm\) появляется при решении уравнения:
\[ x^2=25 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm5. \]
Почему? И \(5^2=25\), и \((-5)^2=25\).
Примеры
\[ \sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{81}=9,\qquad \sqrt{0}=0. \]
Квадратный корень в обычных действительных числах существует только из неотрицательных чисел:
\[ \sqrt{16}\text{ существует},\qquad \sqrt{-16}\text{ не существует}. \]
3. Кубический корень
\[ \sqrt[3]{27}=3, \]
потому что \(3^3=27\).
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
потому что \((-2)^3=-8\).
Кубический корень можно извлекать и из положительных, и из отрицательных чисел:
\[ \sqrt[3]{64}=4,\qquad \sqrt[3]{-125}=-5. \]
4. Таблица полезных квадратов и кубов
| Число | Квадрат | Куб |
|---|---|---|
| \(2\) | \(4\) | \(8\) |
| \(3\) | \(9\) | \(27\) |
| \(4\) | \(16\) | \(64\) |
| \(5\) | \(25\) | \(125\) |
| \(6\) | \(36\) | \(216\) |
| \(7\) | \(49\) | \(343\) |
| \(8\) | \(64\) | \(512\) |
| \(9\) | \(81\) | \(729\) |
| \(10\) | \(100\) | \(1000\) |
5. Связь степени и корня
Корень и возведение в соответствующую степень — обратные действия:
\[ \sqrt{7^2}=|7|=7, \]
\[ \sqrt{(-7)^2}=|-7|=7. \]
Поэтому главное правило:
\[ \boxed{\sqrt{a^2}=|a|} \]
Модуль нужен потому, что квадратный корень всегда неотрицателен.
Для куба знак сохраняется:
\[ \sqrt[3]{7^3}=7, \]
\[ \sqrt[3]{(-7)^3}=-7. \]
Значит,
\[ \boxed{\sqrt[3]{a^3}=a} \]
6. Как упрощать корни
Ищем под знаком корня полный квадрат или полный куб.
Квадратный корень
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2} =\sqrt{36}\cdot\sqrt2 =6\sqrt2. \]
Кубический корень
\[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2} =\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{2} =3\sqrt[3]{2}. \]
Как проверить ответ
Чтобы проверить квадратный корень, возведи ответ в квадрат:
\[ \sqrt{64}=8,\qquad 8^2=64. \]
Чтобы проверить кубический корень, возведи ответ в куб:
\[ \sqrt[3]{-125}=-5,\qquad (-5)^3=-125. \]
Главное различие:
- \(\sqrt a\) — всегда неотрицательное число;
- \(\sqrt[3]a\) может быть отрицательным;
- в уравнении \(x^2=a\) обычно получаются два противоположных корня;
- в уравнении \(x^3=a\) получается один действительный корень.
