Реши пожалуйста
Краткий ответ
118.
- а) функция \(y=\dfrac{7x-31}{x-5}\) убывает на \((5;+\infty)\);
- б) функция \(y=\dfrac{6x-17}{x-2}\) возрастает на \((-\infty;0]\).
119.
- а) возрастает на \(\left[\dfrac12;+\infty\right)\);
- б) убывает на \(\left(-\infty;\dfrac35\right]\);
- в) возрастает на \([1;+\infty)\);
- г) возрастает на \([1;+\infty)\).
118. Доказательство
а) \(y=\dfrac{7x-31}{x-5}\)
Преобразуем дробь:
\[ y=\frac{7(x-5)+4}{x-5}=7+\frac4{x-5}. \]
Пусть \(5<x_1<x_2\). Тогда
\[ y(x_2)-y(x_1) =\frac4{x_2-5}-\frac4{x_1-5} =\frac{4(x_1-x_2)}{(x_2-5)(x_1-5)}. \]
Знаменатель положительный, а \(x_1-x_2<0\), значит
\[ y(x_2)-y(x_1)<0. \]
Следовательно, функция убывает на \((5;+\infty)\).
б) \(y=\dfrac{6x-17}{x-2}\)
Преобразуем:
\[ y=\frac{6(x-2)-5}{x-2}=6-\frac5{x-2}. \]
Пусть \(x_1<x_2\le 0\). Тогда
\[ \begin{aligned} y(x_2)-y(x_1) &=-\frac5{x_2-2}+\frac5{x_1-2}\\ &=\frac{5(x_2-x_1)}{(x_1-2)(x_2-2)}. \end{aligned} \]
Числитель положительный, знаменатель также положительный, поэтому
\[ y(x_2)-y(x_1)>0. \]
Следовательно, функция возрастает на \((-\infty;0]\).
119. Характер монотонности
а) \(y=\sqrt{2x-1}\)
Область определения:
\[ 2x-1\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge\frac12. \]
Линейная функция \(2x-1\) возрастает, и квадратный корень сохраняет порядок. Поэтому
\[ \boxed{y=\sqrt{2x-1}\text{ возрастает на }\left[\frac12;+\infty\right).} \]
б) \(y=\sqrt{3-5x}\)
Область определения:
\[ 3-5x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le\frac35. \]
Функция \(3-5x\) убывает, поэтому и корень из неё убывает:
\[ \boxed{y=\sqrt{3-5x}\text{ убывает на }\left(-\infty;\frac35\right].} \]
в) \(y=x^4+\sqrt{x-1}\)
Область определения:
\[ x-1\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge1. \]
На \([1;+\infty)\):
- \(x^4\) возрастает;
- \(\sqrt{x-1}\) возрастает.
Сумма возрастающих функций также возрастает:
\[ \boxed{y=x^4+\sqrt{x-1}\text{ возрастает на }[1;+\infty).} \]
г) \(y=|x|-\sqrt{x},\quad x\ge1\)
Так как \(x\ge1\), то \(|x|=x\). Поэтому
\[ y=x-\sqrt{x}. \]
Пусть \(1\le x_1<x_2\). Обозначим
\[ a=\sqrt{x_1},\qquad b=\sqrt{x_2}. \]
Тогда \(1\le a<b\), и
\[ \begin{aligned} y(x_2)-y(x_1) &=(b^2-b)-(a^2-a)\\ &=(b-a)(a+b-1)>0. \end{aligned} \]
Значит,
\[ \boxed{y=|x|-\sqrt{x}\text{ возрастает на }[1;+\infty).} \]
Обсуждение
6 сообщенийОбъясни другими словами полегче.
Конечно. Объясним совсем просто.
Что значит «возрастает» и «убывает»?
Если \(x\) увеличивается:
- \(y\) тоже увеличивается — функция возрастает;
- \(y\) уменьшается — функция убывает.
Задание 118
а) \(\displaystyle y=\frac{7x-31}{x-5}\)
Преобразуем дробь:
\[ y=7+\frac{4}{x-5}. \]
На промежутке \(x>5\) число \(x-5\) увеличивается. Поэтому дробь
\[ \frac{4}{x-5} \]
становится меньше. Число \(7\) ситуацию не меняет.
Значит, функция убывает:
\[ \boxed{(5;+\infty)} \]
Например:
\[ x=6 \Rightarrow y=11,\qquad x=7 \Rightarrow y=9. \]
\(x\) увеличился, а \(y\) уменьшился.
б) \(\displaystyle y=\frac{6x-17}{x-2}\)
Преобразуем:
\[ y=6-\frac5{x-2}=6+\frac5{2-x}. \]
На промежутке \(x\le0\) при увеличении \(x\) число \(2-x\) уменьшается. Поэтому дробь
\[ \frac5{2-x} \]
увеличивается. Значит, увеличивается и \(y\).
Функция возрастает:
\[ \boxed{(-\infty;0]} \]
Задание 119
а) \(\displaystyle y=\sqrt{2x-1}\)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ 2x-1\ge0 \Rightarrow x\ge\frac12. \]
При увеличении \(x\) число \(2x-1\) увеличивается, значит, увеличивается и корень.
\[ \boxed{\text{Функция возрастает на }\left[\frac12;+\infty\right)} \]
б) \(\displaystyle y=\sqrt{3-5x}\)
\[ 3-5x\ge0 \Rightarrow x\le\frac35. \]
При увеличении \(x\) выражение \(3-5x\) уменьшается. Поэтому уменьшается и корень.
\[ \boxed{\text{Функция убывает на }\left(-\infty;\frac35\right]} \]
в) \(\displaystyle y=x^4+\sqrt{x-1}\)
Область определения:
\[ x-1\ge0 \Rightarrow x\ge1. \]
При \(x\ge1\):
- \(x^4\) увеличивается;
- \(\sqrt{x-1}\) тоже увеличивается.
Если складываем два увеличивающихся выражения, сумма также увеличивается.
\[ \boxed{\text{Функция возрастает на }[1;+\infty)} \]
г) \(\displaystyle y=|x|-\sqrt{x},\quad x\ge1\)
Так как \(x\ge1\), то \(|x|=x\). Получаем:
\[ y=x-\sqrt{x}. \]
Можно записать так:
\[ y=\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1). \]
При увеличении \(x\) оба множителя увеличиваются, поэтому увеличивается и всё произведение.
\[ \boxed{\text{Функция возрастает на }[1;+\infty)} \]
Итог
\[ \boxed{ \begin{array}{c|c} \text{Функция} & \text{Поведение}\\ \hline 118а & \text{убывает}\\ 118б & \text{возрастает}\\ 119а & \text{возрастает}\\ 119б & \text{убывает}\\ 119в & \text{возрастает}\\ 119г & \text{возрастает} \end{array}} \]
Можно ли как то по другому это решить
Да. Если производные уже проходили, можно решить намного короче.
Правило:
- если \(y'>0\), функция возрастает;
- если \(y'<0\), функция убывает.
Задание 118
а) \(\displaystyle y=\frac{7x-31}{x-5}\)
\[ y'=\frac{7(x-5)-(7x-31)}{(x-5)^2} =\frac{-4}{(x-5)^2}<0. \]
Значит, функция убывает на каждом промежутке своей области определения:
\[ \boxed{(-\infty;5)\text{ и }(5;+\infty)}. \]
В частности, на \((5;+\infty)\) она убывает.
б) \(\displaystyle y=\frac{6x-17}{x-2}\)
\[ y'=\frac{6(x-2)-(6x-17)}{(x-2)^2} =\frac5{(x-2)^2}>0. \]
Значит, функция возрастает на:
\[ \boxed{(-\infty;2)\text{ и }(2;+\infty)}. \]
В частности, на \((-\infty;0]\) она возрастает.
Задание 119
а) \(\displaystyle y=\sqrt{2x-1}\)
\[ y'=\frac1{\sqrt{2x-1}}>0. \]
Следовательно, функция возрастает:
\[ \boxed{\left[\frac12;+\infty\right)}. \]
б) \(\displaystyle y=\sqrt{3-5x}\)
\[ y'=-\frac5{2\sqrt{3-5x}}<0. \]
Следовательно, функция убывает:
\[ \boxed{\left(-\infty;\frac35\right]}. \]
в) \(\displaystyle y=x^4+\sqrt{x-1}\)
\[ y'=4x^3+\frac1{2\sqrt{x-1}}>0 \]
при \(x>1\). Значит, функция возрастает на всей области определения:
\[ \boxed{[1;+\infty)}. \]
г) \(\displaystyle y=|x|-\sqrt{x},\quad x\ge1\)
При \(x\ge1\) имеем \(|x|=x\), поэтому
\[ y=x-\sqrt{x}. \]
Тогда
\[ y'=1-\frac1{2\sqrt{x}}. \]
При \(x\ge1\):
\[ 1-\frac1{2\sqrt{x}}\ge\frac12>0. \]
Значит, функция возрастает:
\[ \boxed{[1;+\infty)}. \]
Ответ
\[ \boxed{ \begin{array}{c|c} 118а & \text{убывает}\\ 118б & \text{возрастает}\\ 119а & \text{возрастает}\\ 119б & \text{убывает}\\ 119в & \text{возрастает}\\ 119г & \text{возрастает} \end{array}} \]
Если производные вы ещё не проходили, это же решение можно показать другим способом — без производных.
Откуда в 18 задании под а взялась семёрка перед скобкой икс - 5
Семёрка взялась из числителя \(7x-31\): нужно было получить слагаемое \(7x\).
Раскроем скобки:
\[ 7(x-5)=7x-35. \]
Но в числителе должно быть \(7x-31\). Поэтому добавляем \(4\):
\[ 7x-31=7x-35+4=7(x-5)+4. \]
Значит,
\[ \frac{7x-31}{x-5} = \frac{7(x-5)+4}{x-5}. \]
Теперь разделяем дробь:
\[ \frac{7(x-5)}{x-5}+\frac4{x-5} = 7+\frac4{x-5}. \]
То есть семёрка выбрана потому, что она стоит перед \(x\) в числителе.
