Реши задание на изображении
Краткие ответы
- Взаимно простые пары: б) 29 и 34; г) 72 и 73.
- \(\ НОД=14\).
- а) \(2\); б) \(5\); в) \(102\); г) \(15\).
- \(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\), \(240=2^4\cdot3\cdot5\); \(1440\) больше \(240\) в 6 раз.
- \(m=1,2,4,7,8,11,13,14\).
Решение
1. Взаимно простые числа
Числа взаимно просты, если их НОД равен \(1\).
- \(12=2^2\cdot3,\quad 15=3\cdot5\), НОД \(=3\) — нет.
- \(29\) и \(34=2\cdot17\) общих делителей, кроме \(1\), не имеют — да.
- \(25=5^2,\quad 30=2\cdot3\cdot5\), НОД \(=5\) — нет.
- \(72=2^3\cdot3^2\), а \(73\) не делится ни на \(2\), ни на \(3\), поэтому НОД \(=1\) — да.
2. НОД по разложениям
\[ 2\cdot2\cdot5\cdot7 \quad\text{и}\quad 2\cdot7\cdot11 \]
Общие простые множители: \(2\) и \(7\).
\[ НОД=2\cdot7=\boxed{14} \]
3. Нахождение НОД
а)
\[ 34=2\cdot17,\qquad 56=2^3\cdot7 \]
\[ НОД(34;56)=\boxed{2} \]
б)
\[ 45=3^2\cdot5,\qquad 65=5\cdot13 \]
\[ НОД(45;65)=\boxed{5} \]
в)
\[ 204=2\cdot102 \]
Значит, \(102\) делит \(204\):
\[ НОД(102;204)=\boxed{102} \]
г)
\[ 1005=3\cdot5\cdot67,\qquad 960=2^6\cdot3\cdot5 \]
Общие множители — \(3\) и \(5\):
\[ НОД=3\cdot5=\boxed{15} \]
4. Разложение на простые множители
\[ 1440=2^5\cdot3^2\cdot5 \]
\[ 240=2^4\cdot3\cdot5 \]
Теперь найдём, во сколько раз \(1440\) больше \(240\):
\[ 1440:240=\boxed{6} \]
Проверка:
\[ 240\cdot6=1440 \]
5. Правильная дробь \(\frac{m}{15}\)
Так как дробь правильная, \(1\le m<15\).
Кроме того, числитель и знаменатель должны быть взаимно простыми:
\[ 15=3\cdot5 \]
Значит, \(m\) не должен делиться ни на \(3\), ни на \(5\). Из чисел от \(1\) до \(14\) подходят:
\[ \boxed{m=1,2,4,7,8,11,13,14} \]
