76 77
1.76. Краткий ответ
\(\;x^2+y^2=16\) — окружность с центром \(O(0;0)\) и радиусом \(4\).
\(\;(x+1)^2+(y+1)^2=9\) — окружность с центром \(O(-1;-1)\) и радиусом \(3\).
\(\;(x-2)^2+(y+3)^2=25\) — окружность с центром \(O(2;-3)\) и радиусом \(5\).
\(\;(x-\frac12)^2+(y-\frac12)^2=\frac94\) — окружность с центром
\(O(\frac12;\frac12)\) и радиусом \(\frac32\).\(\;y=-(x+1)^2+1\) — парабола с вершиной \((-1;1)\), ветви направлены вниз.
\(\;y=2(x-1)^2-7\) — парабола с вершиной \((1;-7)\), ветви направлены вверх.
1.77. Краткий ответ
\[ y\le \frac{x+1}{2}. \] Полуплоскость ниже прямой \(y=\frac{x+1}{2}\), граница сплошная.
\[ y\le 4-2x. \] Полуплоскость ниже прямой \(y=4-2x\), граница сплошная.
\[ y>\frac{|x|+1}{2}. \] Область выше V-образной линии, граница пунктирная. Вершина: \((0;\frac12)\).
\[ y>4-2|x|. \] Область выше перевёрнутой V-образной линии, граница пунктирная. Вершина: \((0;4)\).
\[ y\le 1-(x-1)^2. \] Область ниже параболы, граница сплошная. Вершина: \((1;1)\).
\[ y>(x-\tfrac12)^2+\tfrac34. \] Область выше параболы, граница пунктирная. Вершина: \((\frac12;\frac34)\).
\[ (x-1)^2+(y+2)^2\le 9. \] Круг с центром \((1;-2)\) и радиусом \(3\), граница включается.
\[ (x+1)^2+(y-1)^2>4. \] Внешность круга с центром \((-1;1)\) и радиусом \(2\), граница не включается.
\[ xy\le 2. \] Гипербола \(xy=2\), граница сплошная; закрашивается область, содержащая начало координат.
\[ (x-2)y>1. \] Гипербола \((x-2)y=1\), граница пунктирная.
При \(x>2\): \(y>\frac1{x-2}\);
при \(x<2\): \(y<\frac1{x-2}\).
Ключевые шаги
Для окружности приводим уравнение к виду
\[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2, \]
где \((a;b)\) — центр, \(R\) — радиус.
Например:
\[ x^2+y^2-4x+6y=12 \]
\[ (x-2)^2-4+(y+3)^2-9=12, \]
\[ (x-2)^2+(y+3)^2=25. \]
Значит, центр \((2;-3)\), радиус \(5\).
Для пункта 1.76(4):
\[ x^2-x+y^2-y=\frac74, \]
\[ \left(x-\frac12\right)^2+ \left(y-\frac12\right)^2 =\frac94. \]
Для парабол достаточно выразить \(y\) и выделить квадрат:
\[ x^2+2x+y=0 \]
\[ y=-x^2-2x=-(x+1)^2+1. \]
Значит, вершина \((-1;1)\), ветви направлены вниз.
При построении неравенств:
- знаки \(\le\) и \(\ge\) — граница сплошная;
- знаки \(<\) и \(>\) — граница пунктирная;
- после выражения \(y\) область определяется словами «выше» или «ниже» графика.
Например:
\[ x-2y+1\ge0 \]
\[ -2y\ge -x-1. \]
При делении на отрицательное число знак меняется:
\[ y\le \frac{x+1}{2}. \]
Для гиперболы \(xy\le2\):
- если \(x>0\), то \(y\le\frac2x\);
- если \(x<0\), то \(y\ge\frac2x\).
Поэтому удобно закрашивать сторону гиперболы, содержащую точку \((0;0)\): она удовлетворяет неравенству \(0\le2\).
Проверка: в пунктах 1.76 все уравнения приведены к стандартному виду окружности или параболы, а в 1.77 направление закрашивания определяется непосредственной подстановкой подходящей точки, например \((0;0)\).
Обсуждение
6 сообщенийБез слов только решения ответ
1.76
\(\;O(0;0),\ R=4\)
\(\;O(-1;-1),\ R=3\)
\(\;O(2;-3),\ R=5\)
\(\;O\left(\frac12;\frac12\right),\ R=\frac32\)
\(\;V(-1;1)\)
\(\;V(1;-7)\)
1.77
\[ y\le\frac{x+1}{2} \]
\[ y\le4-2x \]
\[ y>\frac{|x|+1}{2} \]
\[ y>4-2|x| \]
\[ y\le1-(x-1)^2 \]
\[ y>\left(x-\frac12\right)^2+\frac34 \]
\[ (x-1)^2+(y+2)^2\le9 \]
\[ (x+1)^2+(y-1)^2>4 \]
\[ xy\le2 \]
\[ (x-2)y>1 \]
Полностьююю
1.76
- \[ x^2+y^2=16 \]
\[ O(0;0),\qquad R=4 \]
- \[ (x+1)^2+(y+1)^2=9 \]
\[ O(-1;-1),\qquad R=3 \]
- \[ x^2+y^2-4x+6y=12 \]
\[ x^2-4x+4+y^2+6y+9=12+4+9 \]
\[ (x-2)^2+(y+3)^2=25 \]
\[ O(2;-3),\qquad R=5 \]
- \[ x^2-x+y^2-y=\frac74 \]
\[ \left(x-\frac12\right)^2-\frac14+ \left(y-\frac12\right)^2-\frac14=\frac74 \]
\[ \left(x-\frac12\right)^2+ \left(y-\frac12\right)^2 =\frac94 \]
\[ O\left(\frac12;\frac12\right),\qquad R=\frac32 \]
- \[ x^2+2x+y=0 \]
\[ y=-x^2-2x \]
\[ y=-(x+1)^2+1 \]
\[ V(-1;1) \]
- \[ y=2x^2-4x-5 \]
\[ y=2(x^2-2x+1)-7 \]
\[ y=2(x-1)^2-7 \]
\[ V(1;-7) \]
1.77
- \[ x-2y+1\ge0 \]
\[ -2y\ge-x-1 \]
\[ \boxed{y\le\frac{x+1}{2}} \]
- \[ 2x+y-4\le0 \]
\[ \boxed{y\le4-2x} \]
- \[ |x|-2y+1<0 \]
\[ -2y<-|x|-1 \]
\[ \boxed{y>\frac{|x|+1}{2}} \]
- \[ y+2|x|>4 \]
\[ \boxed{y>4-2|x|} \]
- \[ x^2-2x+y\le0 \]
\[ y\le-x^2+2x \]
\[ y\le1-(x-1)^2 \]
\[ \boxed{y\le1-(x-1)^2} \]
- \[ x^2-x-y+1<0 \]
\[ y>x^2-x+1 \]
\[ y>\left(x-\frac12\right)^2+\frac34 \]
\[ \boxed{y>\left(x-\frac12\right)^2+\frac34} \]
- \[ (x-1)^2+(y+2)^2\le9 \]
\[ O(1;-2),\qquad R=3 \]
\[ \boxed{(x-1)^2+(y+2)^2\le9} \]
- \[ (x+1)^2+(y-1)^2>4 \]
\[ O(-1;1),\qquad R=2 \]
\[ \boxed{(x+1)^2+(y-1)^2>4} \]
- \[ xy\le2 \]
\[ x>0:\quad y\le\frac2x \]
\[ x<0:\quad y\ge\frac2x \]
\[ \boxed{xy\le2} \]
- \[ (x-2)y>1 \]
\[ x>2:\quad y>\frac1{x-2} \]
\[ x<2:\quad y<\frac1{x-2} \]
\[ \boxed{(x-2)y>1} \]
77 там сделай еще раз
1.77
1
\[ x-2y+1\ge0 \]
\[ -2y\ge-x-1 \]
\[ \boxed{y\le\frac{x+1}{2}} \]
Граница:
\[ y=\frac{x+1}{2} \]
2
\[ 2x+y-4\le0 \]
\[ \boxed{y\le4-2x} \]
Граница:
\[ y=4-2x \]
3
\[ |x|-2y+1<0 \]
\[ -2y<-|x|-1 \]
\[ \boxed{y>\frac{|x|+1}{2}} \]
Граница:
\[ y=\frac{|x|+1}{2} \]
4
\[ y+2|x|>4 \]
\[ \boxed{y>4-2|x|} \]
Граница:
\[ y=4-2|x| \]
5
\[ x^2-2x+y\le0 \]
\[ y\le-x^2+2x \]
\[ y\le-(x^2-2x+1)+1 \]
\[ \boxed{y\le1-(x-1)^2} \]
Вершина:
\[ V(1;1) \]
6
\[ x^2-x-y+1<0 \]
\[ -y<-x^2+x-1 \]
\[ y>x^2-x+1 \]
\[ y>\left(x-\frac12\right)^2+\frac34 \]
\[ \boxed{y>\left(x-\frac12\right)^2+\frac34} \]
Вершина:
\[ V\left(\frac12;\frac34\right) \]
7
\[ \boxed{(x-1)^2+(y+2)^2\le9} \]
\[ O(1;-2),\qquad R=3 \]
8
\[ \boxed{(x+1)^2+(y-1)^2>4} \]
\[ O(-1;1),\qquad R=2 \]
9
\[ xy\le2 \]
При \(x>0\):
\[ y\le\frac2x \]
При \(x<0\):
\[ y\ge\frac2x \]
При \(x=0\):
\[ 0\le2 \]
\[ \boxed{xy\le2} \]
Граница:
\[ xy=2 \]
10
\[ (x-2)y>1 \]
При \(x>2\):
\[ \boxed{y>\frac1{x-2}} \]
При \(x<2\):
\[ \boxed{y<\frac1{x-2}} \]
При \(x=2\):
\[ 0>1 \]
\[ \boxed{(x-2)y>1} \]
Граница:
\[ (x-2)y=1 \]
