Реши задание на изображении
Краткий ответ
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{2a}{7b}\);
б) \(\displaystyle \frac{3}{x+4}\);
в) \(\displaystyle \frac{y-z}{2}\).Представьте в виде дроби:
а) \(\displaystyle \frac{x^2-6x-1}{x^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{2b}{4a^2-b^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{7-5c}{c^2+3c}\).\(\boxed{25}\).
\(\displaystyle \boxed{-\frac{6}{x(x+3)}}\), \(x\ne -3,0,3\).
\(\boxed{a=-5,-1,1,5}\).
Решение
1. Сокращение дробей
а)
\[
\frac{14a^4b}{49a^3b^2}
=\frac{2a}{7b}.
\]
б) Разложим знаменатель: \[ x^2+4x=x(x+4). \] Тогда \[ \frac{3x}{x^2+4x} =\frac{3x}{x(x+4)} =\frac{3}{x+4}. \]
в) Используем формулы разности квадратов: \[ y^2-z^2=(y-z)(y+z), \] \[ 2y+2z=2(y+z). \] Следовательно, \[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} =\frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)} =\frac{y-z}{2}. \]
2. Представление в виде одной дроби
а) Общий знаменатель — \(x^2\): \[ \frac{3x-1}{x^2}+\frac{x-9}{x} =\frac{3x-1+x(x-9)}{x^2} \] \[ =\frac{3x-1+x^2-9x}{x^2} =\frac{x^2-6x-1}{x^2}. \]
б) \[ \frac1{2a-b}-\frac1{2a+b} = \frac{(2a+b)-(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} \] \[ =\frac{2b}{(2a-b)(2a+b)} =\frac{2b}{4a^2-b^2}. \]
в) \[ \frac5{c^2+3c}-\frac{5c-2}{c^2+3c} = \frac{5-(5c-2)}{c^2+3c} \] \[ =\frac{5-5c+2}{c^2+3c} =\frac{7-5c}{c^2+3c}. \]
3. Вычисление значения
\[ \frac{a^2-b}{a}-a =a-\frac ba-a =-\frac ba. \]
При \(a=0{,}2\), \(b=-5\): \[ -\frac{-5}{0{,}2}=\frac5{0{,}2}=25. \]
4. Упрощение выражения
ОДЗ: \[ x\ne3,\quad x\ne-3,\quad x\ne0. \]
Общий знаменатель: \[ x(x-3)(x+3). \]
\[ \frac3{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac2x \] \[ =\frac{3x(x+3)-x(x+15)-2(x^2-9)} {x(x-3)(x+3)}. \]
Раскроем скобки: \[ 3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18 =-6x+18=-6(x-3). \]
Поэтому \[ \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)} =-\frac6{x(x+3)}. \]
Проверка при \(x=1\): исходное и упрощённое выражения дают \(-\frac32\).
5. Целые значения \(a\)
\[ \frac{(a+1)^2-6a+4}{a} = \frac{a^2+2a+1-6a+4}{a} \] \[ =\frac{a^2-4a+5}{a} =a-4+\frac5a. \]
Чтобы всё выражение было целым при целом \(a\), число \(\frac5a\) должно быть целым. Значит, \(a\) — делитель числа \(5\):
\[ \boxed{a\in\{-5,-1,1,5\}}. \]
