Реши задание на изображении

Краткий ответ: \(\boxed{4}\).

Рассмотрим выражение по порядку действий: \[ E=\left(\frac{2cd}{c^2-d^2}+\frac{c-d}{2c+2d}\right)\cdot\frac{8c}{c+d}+\frac{4d}{d-c}. \]

ОДЗ: \[ c\ne d,\qquad c\ne -d. \]

Упростим выражение в скобках: \[ \begin{aligned} \frac{2cd}{c^2-d^2}+\frac{c-d}{2c+2d} &=\frac{2cd}{(c-d)(c+d)}+\frac{c-d}{2(c+d)}\\ &=\frac{4cd+(c-d)^2}{2(c-d)(c+d)}\\ &=\frac{4cd+c^2-2cd+d^2}{2(c-d)(c+d)}\\ &=\frac{(c+d)^2}{2(c-d)(c+d)}\\ &=\frac{c+d}{2(c-d)}. \end{aligned} \]

Тогда \[ \begin{aligned} E&=\frac{c+d}{2(c-d)}\cdot\frac{8c}{c+d}+\frac{4d}{d-c}\\ &=\frac{4c}{c-d}-\frac{4d}{c-d}\\ &=\frac{4(c-d)}{c-d}=4. \end{aligned} \]

Значение действительно не зависит от \(c\) и \(d\), если выражение определено.

Проверка при \(c=2,\ d=1\): \[ \left(\frac43+\frac16\right)\cdot\frac{16}{3}-4 =\frac32\cdot\frac{16}{3}-4=8-4=4. \]