Вот тебе пример подготовь меня к контрольной работе
Краткий ответ
На фото видны контрольная № 1 в двух вариантах и контрольная № 2, вариант 1. Вариант 2 контрольной № 2 обрезан.
Контрольная № 1, вариант 1
а) \(\dfrac{2a}{7b}\);
б) \(\dfrac{3}{x+4}\);
в) \(\dfrac{y-z}{2}\).а) \(\dfrac{-x^2+18x-3}{3x^2}\);
б) \(\dfrac{2b}{4a^2-b^2}\);
в) \(\dfrac{2}{c(c+3)}\).\(25\).
\(\displaystyle -\frac{6}{x(x+3)}\).
Контрольная № 1, вариант 2
а) \(\dfrac{3x}{2y}\);
б) \(\dfrac{5}{y-2}\);
в) \(\dfrac{a+b}{3}\).а) \(\dfrac{3a-2}{2a^2}\);
б) \(\dfrac{-2y}{9x^2-y^2}\);
в) \(\dfrac{6b-4}{b(b-2)}\).\(-40\).
\(\displaystyle \frac{16}{x(x-4)(x+4)}\).
Контрольная № 2, вариант 1
а) \(\dfrac{3}{y^2}\);
б) \(\dfrac{7a}{2c}\);
в) \(\displaystyle \frac{3(2a-1)(2a+1)^2}{(a-3)(a+3)^2}\);
г) \(\dfrac pq\).Область определения: \(x\ne0\). Функция отрицательна при \(x<0\).
Значение выражения равно \(2\).
Что нужно уметь
1. ОДЗ — ограничения на переменные
Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Например:
\[ \frac{3x}{x^2+4x} \]
Знаменатель раскладываем:
\[ x^2+4x=x(x+4). \]
Значит,
\[ x\ne0,\qquad x\ne-4. \]
После сокращения:
\[ \frac{3x}{x(x+4)}=\frac{3}{x+4}. \]
Но ограничение \(x\ne0\) сохраняется, потому что оно было в исходной дроби.
2. Сокращение дробей
Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.
Основные формулы:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \]
\[ x^2+ax=x(x+a). \]
Примеры из работы:
\[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} = \frac{2a}{7b}. \]
\[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} = \frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)} = \frac{y-z}{2}. \]
Во втором примере обязательно было разложить разность квадратов:
\[ y^2-z^2=(y-z)(y+z). \]
Ещё:
\[ \frac{a^2-b^2}{3a-3b} = \frac{(a-b)(a+b)}{3(a-b)} = \frac{a+b}{3}. \]
3. Сложение и вычитание дробей
Алгоритм:
- Разложить знаменатели на множители.
- Найти общий знаменатель.
- Домножить числители.
- Выполнить действия в числителе.
- Разложить и сократить полученную дробь.
Например:
\[ \frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b}. \]
Общий знаменатель:
\[ (2a-b)(2a+b). \]
Тогда
\[ \frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b} = \frac{2a+b-(2a-b)} {(2a-b)(2a+b)} = \frac{2b}{4a^2-b^2}. \]
Другой пример:
\[ \frac{5}{c+3}-\frac{5c-2}{c^2+3c}. \]
Так как
\[ c^2+3c=c(c+3), \]
то
\[ \frac{5}{c+3} = \frac{5c}{c(c+3)}. \]
Получаем:
\[ \frac{5c-(5c-2)}{c(c+3)} = \frac{2}{c(c+3)}. \]
Вариант 2, задание 2в
\[ \frac{3}{b-2}-\frac{4-3b}{b^2-2b}. \]
Разложим знаменатель:
\[ b^2-2b=b(b-2). \]
Тогда
\[ \frac{3b-(4-3b)}{b(b-2)} = \frac{6b-4}{b(b-2)}. \]
4. Вычисление значения выражения
Лучше сначала упростить выражение, а затем подставлять числа.
Вариант 1
\[ \frac{a^2-b}{a}-a = a-\frac ba-a = -\frac ba. \]
При \(a=0{,}2,\ b=-5\):
\[ -\frac{-5}{0{,}2} = \frac5{0{,}2} = 25. \]
Вариант 2
\[ \frac{x-6y^2}{2y}+3y = \frac{x}{2y}-3y+3y = \frac{x}{2y}. \]
При \(x=-8,\ y=0{,}1\):
\[ \frac{-8}{2\cdot0{,}1} = \frac{-8}{0{,}2} = -40. \]
5. Упрощение сложного выражения
Нужно разложить знаменатели и привести дроби к общему знаменателю.
Вариант 1
\[ \frac3{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac2x. \]
Разложим:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
Общий знаменатель:
\[ x(x-3)(x+3). \]
Тогда числитель:
\[ 3x(x+3)-x(x+15)-2(x^2-9). \]
Раскрываем скобки:
\[ 3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18 = -6x+18 = -6(x-3). \]
Получаем:
\[ \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)} = -\frac6{x(x+3)}. \]
Ограничения исходного выражения:
\[ x\ne3,\quad x\ne-3,\quad x\ne0. \]
Вариант 2
\[ \frac2{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x. \]
Так как
\[ x^2-16=(x-4)(x+4), \]
общий знаменатель:
\[ x(x-4)(x+4). \]
Числитель:
\[ 2x(x+4)-x(x+8)-(x^2-16). \]
После раскрытия скобок:
\[ 2x^2+8x-x^2-8x-x^2+16=16. \]
Ответ:
\[ \frac{16}{x(x-4)(x+4)}. \]
6. Произведение и частное дробей
При делении дробей вторую дробь переворачиваем:
\[ \frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC. \]
Примеры
\[ \frac{42x^5}{y^4}\cdot\frac{y^2}{14x^5} = \frac{42y^2}{14y^4} = \frac3{y^2}. \]
\[ \frac{63a^3b}{c}:(18a^2b) = \frac{63a^3b}{c}\cdot\frac1{18a^2b} = \frac{7a}{2c}. \]
В выражении
\[ \frac{4a^2-1}{a^2-9}\cdot\frac{6a+3}{a+3} \]
раскладываем:
\[ 4a^2-1=(2a-1)(2a+1), \]
\[ a^2-9=(a-3)(a+3), \]
\[ 6a+3=3(2a+1). \]
Поэтому:
\[ \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{3(2a+1)}{a+3} = \frac{3(2a-1)(2a+1)^2}{(a-3)(a+3)^2}. \]
7. Функция \(y=\dfrac6x\)
Это гипербола.
- \(x=0\) недопустим, поэтому область определения:
\[ x\in\mathbb R\setminus\{0\}. \]
- При \(x>0\):
\[ \frac6x>0. \]
- При \(x<0\):
\[ \frac6x<0. \]
Значит, функция принимает отрицательные значения при
\[ \boxed{x<0}. \]
График имеет ветви в I и III координатных четвертях.
8. Доказательство постоянства выражения
Дано:
\[ (b-1)^2 \left( \frac1{b^2-2b+1} + \frac1{b^2-1} \right) + \frac2{b+1}. \]
Разложим знаменатели:
\[ b^2-2b+1=(b-1)^2, \]
\[ b^2-1=(b-1)(b+1). \]
Тогда:
\[ (b-1)^2 \left( \frac1{(b-1)^2} + \frac1{(b-1)(b+1)} \right) + \frac2{b+1}. \]
Сокращаем:
\[ 1+\frac{b-1}{b+1}+\frac2{b+1}. \]
Объединяем дроби:
\[ 1+\frac{b-1+2}{b+1} = 1+\frac{b+1}{b+1} = 2. \]
Получился постоянный результат:
\[ \boxed{2}. \]
Алгоритм на контрольной
- Сразу найди значения, при которых знаменатель равен нулю.
- Разложи многочлены на множители.
- При сложении найди общий знаменатель.
- При делении переверни вторую дробь.
- После сокращения не забывай ограничения исходного выражения.
- В числовых заданиях сначала упрощай, потом подставляй.
