Реши задание на изображении
Краткий ответ:
а) \[ x=\frac{\pi}{3}+\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};\,3\pi\right]\):
\[ \boxed{x\in\left\{\frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}\right\}}. \]
Решение
Используем формулу:
\[ \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}. \]
Тогда
\[ 16^{\sin^2x} =16^{\frac{1-\cos2x}{2}} =4^{1-\cos2x} =\frac{4}{4^{\cos2x}}. \]
Обозначим
\[ t=4^{\cos2x}>0. \]
Исходное уравнение примет вид:
\[ 4\cdot\frac{4}{t}-6t=29, \]
\[ \frac{16}{t}-6t=29. \]
Умножим на \(t>0\):
\[ 16-6t^2=29t, \]
\[ 6t^2+29t-16=0. \]
Разложим на множители:
\[ (3t+16)(2t-1)=0. \]
Так как \(t>0\), получаем:
\[ t=\frac12. \]
Следовательно,
\[ 4^{\cos2x}=\frac12=4^{-1/2}, \]
откуда
\[ \cos2x=-\frac12. \]
Значит,
\[ 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad 2x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k. \]
Поэтому
\[ x=\frac{\pi}{3}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi k. \]
На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:
\[ \frac{5\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{3},\quad \frac{8\pi}{3}. \]
Проверка
При \(\cos2x=-\frac12\):
\[ \sin^2x=\frac{1-\left(-\frac12\right)}2=\frac34. \]
Тогда
\[ 4\cdot16^{3/4}-6\cdot4^{-1/2} =4\cdot8-6\cdot\frac12 =32-3=29. \]
Уравнение выполнено.
Обсуждение
2 сообщенияПо порядку всё распиши
Решим уравнение по порядку:
\[ 4\cdot16^{\sin^2x}-6\cdot4^{\cos 2x}=29, \qquad x\in\left[\frac{3\pi}{2};\,3\pi\right]. \]
1. Преобразуем степень \(16^{\sin^2x}\)
Используем формулу:
\[ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}. \]
Тогда
\[ 16^{\sin^2x} =16^{\frac{1-\cos2x}{2}}. \]
Так как \(16=4^2\), получаем:
\[ 16^{\frac{1-\cos2x}{2}} =(4^2)^{\frac{1-\cos2x}{2}} =4^{1-\cos2x}. \]
Разделим степень:
\[ 4^{1-\cos2x} =\frac{4^1}{4^{\cos2x}} =\frac{4}{4^{\cos2x}}. \]
Подставим это в исходное уравнение:
\[ 4\cdot\frac{4}{4^{\cos2x}}-6\cdot4^{\cos2x}=29. \]
2. Сделаем замену
Пусть
\[ t=4^{\cos2x}. \]
Поскольку степень положительного числа всегда положительна, то
\[ t>0. \]
Уравнение примет вид:
\[ 4\cdot\frac{4}{t}-6t=29. \]
Упростим:
\[ \frac{16}{t}-6t=29. \]
Умножим всё уравнение на \(t\):
\[ 16-6t^2=29t. \]
Перенесём все слагаемые в левую часть:
\[ 6t^2+29t-16=0. \]
3. Решим квадратное уравнение
Найдём дискриминант:
\[ D=29^2-4\cdot6\cdot(-16). \]
\[ D=841+384=1225=35^2. \]
Корни:
\[ t_{1,2}=\frac{-29\pm35}{12}. \]
Первый корень:
\[ t_1=\frac{-29+35}{12} =\frac{6}{12} =\frac12. \]
Второй корень:
\[ t_2=\frac{-29-35}{12} =\frac{-64}{12} =-\frac{16}{3}. \]
Но \(t=4^{\cos2x}>0\), поэтому отрицательный корень не подходит.
Значит,
\[ t=\frac12. \]
Возвращаемся к замене:
\[ 4^{\cos2x}=\frac12. \]
Представим \(\frac12\) как степень числа \(4\):
\[ \frac12=4^{-\frac12}. \]
Следовательно,
\[ 4^{\cos2x}=4^{-\frac12}. \]
Так как основания одинаковые, приравниваем показатели:
\[ \cos2x=-\frac12. \]
4. Решим тригонометрическое уравнение
Косинус равен \(-\frac12\) при
\[ 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \]
или
\[ 2x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Делим на \(2\):
\[ x=\frac{\pi}{3}+\pi k \]
или
\[ x=\frac{2\pi}{3}+\pi k. \]
Это общие решения.
5. Отберём решения на отрезке
\[ x\in\left[\frac{3\pi}{2};\,3\pi\right]. \]
Первая серия:
\[ x=\frac{\pi}{3}+\pi k. \]
Подставим в ограничение:
\[ \frac{3\pi}{2}\leq\frac{\pi}{3}+\pi k\leq3\pi. \]
Делим на \(\pi\):
\[ \frac32\leq\frac13+k\leq3. \]
Вычитаем \(\frac13\):
\[ \frac76\leq k\leq\frac83. \]
Единственное целое значение:
\[ k=2. \]
Тогда
\[ x=\frac{\pi}{3}+2\pi =\frac{7\pi}{3}. \]
Вторая серия:
\[ x=\frac{2\pi}{3}+\pi k. \]
Подставим в ограничение:
\[ \frac{3\pi}{2}\leq\frac{2\pi}{3}+\pi k\leq3\pi. \]
Делим на \(\pi\):
\[ \frac32\leq\frac23+k\leq3. \]
Вычитаем \(\frac23\):
\[ \frac56\leq k\leq\frac73. \]
Подходящие целые значения:
\[ k=1,\quad k=2. \]
При \(k=1\):
\[ x=\frac{2\pi}{3}+\pi =\frac{5\pi}{3}. \]
При \(k=2\):
\[ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi =\frac{8\pi}{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left\{\frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}\right\}}. \]
