Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Решите уравнение:

а) \(x=3,\,-8\);

б) \(x=4,\;\frac34\);

в) \(x=\frac15\);

г) действительных решений нет.

2. Решите уравнение:

а) \(x=-1,\;3\);

б) \(x=1\).

3. Разложение на множители:

а) \((x-4)(x-7)\);

б) \((3x+1)(2x+1)\).

---

Ключевые шаги

1. Квадратные уравнения

Используем дискриминант:

\[ D=b^2-4ac,\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

а)

\[ x^2+5x-24=0. \]

\[ D=5^2-4\cdot1\cdot(-24)=121. \]

\[ x=\frac{-5\pm11}{2}. \]

Отсюда:

\[ x_1=3,\qquad x_2=-8. \]

б) Умножим уравнение на \(-1\):

\[ 4x^2-19x+12=0. \]

\[ D=(-19)^2-4\cdot4\cdot12=169. \]

\[ x=\frac{19\pm13}{8}. \]

\[ x_1=4,\qquad x_2=\frac34. \]

в)

\[ 25x^2-10x+1=(5x-1)^2. \]

\[ (5x-1)^2=0 \Rightarrow 5x-1=0, \]

\[ x=\frac15. \]

г)

\[ D=(-5)^2-4\cdot3\cdot3=25-36=-11<0. \]

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

---

2. Дробно-рациональные уравнения

а)

\[ \frac{x}{2x+3}=\frac1x. \]

ОДЗ:

\[ x\ne0,\qquad 2x+3\ne0 \Rightarrow x\ne-\frac32. \]

Умножаем на \(x(2x+3)\):

\[ x^2=2x+3, \]

\[ x^2-2x-3=0, \]

\[ (x-3)(x+1)=0. \]

\[ x=3\quad\text{или}\quad x=-1. \]

Оба значения входят в ОДЗ.

б)

\[ \frac{2x+5}{x^2+x}-\frac2x=\frac{3x}{x+1}. \]

ОДЗ:

\[ x\ne0,\qquad x\ne-1. \]

Так как \(x^2+x=x(x+1)\), умножим всё уравнение на \(x(x+1)\):

\[ 2x+5-2(x+1)=3x^2. \]

\[ 2x+5-2x-2=3x^2, \]

\[ 3=3x^2, \]

\[ x^2=1. \]

\[ x=\pm1. \]

Значение \(x=-1\) исключается по ОДЗ. Поэтому:

\[ x=1. \]

---

3. Разложение на множители

а) Нужно найти два числа, произведение которых равно \(28\), а сумма — \(-11\):

\[ -4\cdot(-7)=28,\qquad -4+(-7)=-11. \]

Значит,

\[ x^2-11x+28=(x-4)(x-7). \]

б)

\[ 6x^2+5x+1=(3x+1)(2x+1), \]

так как

\[ (3x+1)(2x+1)=6x^2+3x+2x+1=6x^2+5x+1. \]

Проверка

\[ \frac{3}{2\cdot3+3}=\frac39=\frac13, \]

\[ \frac13=\frac13. \]

Для уравнения 2б при \(x=1\):

\[ \frac{7}{2}-2=\frac32,\qquad \frac{3}{2}=\frac32. \]

Ответ верен.