23

Это продолжение: на изображении полностью видно задание № 23. Решим все уравнения.

Правила:
\[ |A|=b \Rightarrow A=\pm b \quad (b\ge 0). \]

а)
\[ |x|=5 \Rightarrow x=\pm5. \]

Ответ: \(\boxed{x=-5;\ 5}\).

б)
\[ |2x-3|=7 \Rightarrow 2x-3=\pm7. \] \[ x=5 \quad \text{или} \quad x=-2. \]

Ответ: \(\boxed{x=-2;\ 5}\).

в)
\[ |x-2|=4 \Rightarrow x-2=\pm4. \] \[ x=6 \quad \text{или} \quad x=-2. \]

Ответ: \(\boxed{x=-2;\ 6}\).

г)
\[ \bigl||x|-4\bigr|=2 \Rightarrow |x|-4=\pm2. \] \[ |x|=6 \quad \text{или} \quad |x|=2. \]

Ответ: \(\boxed{x=-6;\ -2;\ 2;\ 6}\).

д)
\[ \bigl||2x-5|-1\bigr|=7 \Rightarrow |2x-5|-1=\pm7. \]

Случай \(|2x-5|=8\) даёт: \[ 2x-5=\pm8 \Rightarrow x=\frac{13}{2}\ \text{или}\ x=-\frac32. \]

Случай \(|2x-5|=-6\) невозможен.

Ответ: \(\boxed{x=-\frac32;\ \frac{13}{2}}\).

е)
\[ \bigl||2x-1|-5\bigr|=7 \Rightarrow |2x-1|-5=\pm7. \]

\[ |2x-1|=12 \quad \text{или} \quad |2x-1|=-2. \]

Второй случай невозможен. Тогда: \[ 2x-1=\pm12 \Rightarrow x=\frac{13}{2}\ \text{или}\ x=-\frac{11}{2}. \]

Ответ: \(\boxed{x=-\frac{11}{2};\ \frac{13}{2}}\).

ж)
\[ \bigl||2x-7|-5\bigr|=1 \Rightarrow |2x-7|-5=\pm1. \]

\[ |2x-7|=6 \quad \text{или} \quad |2x-7|=4. \]

Отсюда: \[ x=\frac12,\ \frac32,\ \frac{11}{2},\ \frac{13}{2}. \]

Ответ: \(\boxed{x=\frac12;\ \frac32;\ \frac{11}{2};\ \frac{13}{2}}\).

з)
\[ |x-1|=|2x-4|. \]

Рассмотрим два случая: \[ x-1=2x-4 \Rightarrow x=3; \] \[ x-1=-(2x-4) \Rightarrow 3x=5 \Rightarrow x=\frac53. \]

Ответ: \(\boxed{x=\frac53;\ 3}\).

и)
\[ |3x+2|=|5x+6|. \]

\[ 3x+2=5x+6 \Rightarrow x=-2; \] \[ 3x+2=-(5x+6) \Rightarrow x=-1. \]

Ответ: \(\boxed{x=-2;\ -1}\).

к)
\[ |3x-1|=|x-5|. \]

\[ 3x-1=x-5 \Rightarrow x=-2; \] \[ 3x-1=-(x-5) \Rightarrow x=\frac32. \]

Ответ: \(\boxed{x=-2;\ \frac32}\).

Да, решим столбиком, по два случая для каждого модуля.

а)

\[ |x|=5 \]

\[ \begin{aligned} x&=5,\\ x&=-5. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-5;\ 5\).

б)

\[ |2x-3|=7 \]

\[ \begin{aligned} 2x-3&=7, & 2x&=10, & x&=5;\\ 2x-3&=-7, & 2x&=-4, & x&=-2. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-2;\ 5\).

в)

\[ |x-2|=4 \]

\[ \begin{aligned} x-2&=4, & x&=6;\\ x-2&=-4, & x&=-2. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-2;\ 6\).

г)

\[ \bigl||x|-4\bigr|=2 \]

\[ \begin{aligned} |x|-4&=2, & |x|&=6, & x&=\pm6;\\ |x|-4&=-2, & |x|&=2, & x&=\pm2. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-6;\ -2;\ 2;\ 6\).

д)

\[ \bigl||2x-5|-1\bigr|=7 \]

\[ \begin{aligned} |2x-5|-1&=7, & |2x-5|&=8,\\ 2x-5&=8, & 2x&=13, & x&=\frac{13}{2};\\ 2x-5&=-8, & 2x&=-3, & x&=-\frac32. \end{aligned} \]

Второй случай: \[ |2x-5|-1=-7 \Rightarrow |2x-5|=-6 \] невозможен.

Ответ: \(x=-\frac32;\ \frac{13}{2}\).

е)

\[ \bigl||2x-1|-5\bigr|=7 \]

\[ \begin{aligned} |2x-1|-5&=7, & |2x-1|&=12,\\ 2x-1&=12, & 2x&=13, & x&=\frac{13}{2};\\ 2x-1&=-12, & 2x&=-11, & x&=-\frac{11}{2}. \end{aligned} \]

Второй случай: \[ |2x-1|-5=-7 \Rightarrow |2x-1|=-2 \] невозможен.

Ответ: \(x=-\frac{11}{2};\ \frac{13}{2}\).

ж)

\[ \bigl||2x-7|-5\bigr|=1 \]

\[ \begin{aligned} |2x-7|-5&=1, & |2x-7|&=6,\\ 2x-7&=6, & 2x&=13, & x&=\frac{13}{2};\\ 2x-7&=-6, & 2x&=1, & x&=\frac12;\\[2mm] |2x-7|-5&=-1, & |2x-7|&=4,\\ 2x-7&=4, & 2x&=11, & x&=\frac{11}{2};\\ 2x-7&=-4, & 2x&=3, & x&=\frac32. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=\frac12;\ \frac32;\ \frac{11}{2};\ \frac{13}{2}\).

з)

\[ |x-1|=|2x-4| \]

\[ \begin{aligned} x-1&=2x-4, & x&=3;\\ x-1&=-(2x-4), & x-1&=-2x+4, & 3x&=5, & x&=\frac53. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=\frac53;\ 3\).

и)

\[ |3x+2|=|5x+6| \]

\[ \begin{aligned} 3x+2&=5x+6, & -2x&=4, & x&=-2;\\ 3x+2&=-(5x+6), & 8x&=-8, & x&=-1. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-2;\ -1\).

к)

\[ |3x-1|=|x-5| \]

\[ \begin{aligned} 3x-1&=x-5, & 2x&=-4, & x&=-2;\\ 3x-1&=-(x-5), & 4x&=6, & x&=\frac32. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-2;\ \frac32\).

Да, нужно оформлять по случаям, как в тетради. Переписываю все примеры таким способом.

а) \(|x|=5\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad x&=5;\\ 2)\quad x&=-5. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-5;\ 5\).

---

б) \(|2x-3|=7\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad 2x-3&=7,\\ 2x&=10,\\ x&=5. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad 2x-3&=-7,\\ 2x&=-4,\\ x&=-2. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-2;\ 5\).

---

в) \(|x-2|=4\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad x-2&=4,\\ x&=6. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad x-2&=-4,\\ x&=-2. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-2;\ 6\).

---

г) \(\bigl||x|-4\bigr|=2\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad |x|-4&=2,\\ |x|&=6,\\ x_1&=6,\qquad x_2=-6. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad |x|-4&=-2,\\ |x|&=2,\\ x_1&=2,\qquad x_2=-2. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-6;\ -2;\ 2;\ 6\).

---

д) \(\bigl||2x-5|-1\bigr|=7\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad |2x-5|-1&=7,\\ |2x-5|&=8. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x-5&=8,\\ 2x&=13,\\ x&=\frac{13}{2}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x-5&=-8,\\ 2x&=-3,\\ x&=-\frac32. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad |2x-5|-1&=-7,\\ |2x-5|&=-6. \end{aligned} \]

Так как модуль не может быть отрицательным, решений нет.

Ответ: \(x=-\frac32;\ \frac{13}{2}\).

---

е) \(\bigl||2x-1|-5\bigr|=7\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad |2x-1|-5&=7,\\ |2x-1|&=12. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x-1&=12,\\ 2x&=13,\\ x&=\frac{13}{2}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x-1&=-12,\\ 2x&=-11,\\ x&=-\frac{11}{2}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad |2x-1|-5&=-7,\\ |2x-1|&=-2. \end{aligned} \]

Решений нет.

Ответ: \(x=-\frac{11}{2};\ \frac{13}{2}\).

---

ж) \(\bigl||2x-7|-5\bigr|=1\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad |2x-7|-5&=1,\\ |2x-7|&=6. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x-7&=6,\\ 2x&=13,\\ x&=\frac{13}{2}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x-7&=-6,\\ 2x&=1,\\ x&=\frac12. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad |2x-7|-5&=-1,\\ |2x-7|&=4. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x-7&=4,\\ 2x&=11,\\ x&=\frac{11}{2}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x-7&=-4,\\ 2x&=3,\\ x&=\frac32. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=\frac12;\ \frac32;\ \frac{11}{2};\ \frac{13}{2}\).

---

з) \(|x-1|=|2x-4|\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad x-1&=2x-4,\\ x&=3. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad x-1&=-(2x-4),\\ x-1&=-2x+4,\\ 3x&=5,\\ x&=\frac53. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=\frac53;\ 3\).

---

и) \(|3x+2|=|5x+6|\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad 3x+2&=5x+6,\\ -2x&=4,\\ x&=-2. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad 3x+2&=-(5x+6),\\ 3x+2&=-5x-6,\\ 8x&=-8,\\ x&=-1. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-2;\ -1\).

---

к) \(|3x-1|=|x-5|\)

\[ \begin{aligned} 1)\quad 3x-1&=x-5,\\ 2x&=-4,\\ x&=-2. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2)\quad 3x-1&=-(x-5),\\ 3x-1&=-x+5,\\ 4x&=6,\\ x&=\frac32. \end{aligned} \]

Ответ: \(x=-2;\ \frac32\).