√(6х-х^2-8)-√(4-х)=х^2-7х+12
Краткий ответ: \(\boxed{x=3,\;x=4}\).
Решение
- ОДЗ: \[ 6x-x^2-8=(x-2)(4-x)\ge 0, \] поэтому \[ x\in[2;4]. \]
Обозначим: \[ a=\sqrt{x-2},\qquad b=\sqrt{4-x}. \] Тогда \[ \sqrt{6x-x^2-8}=ab. \]
Левая часть: \[ ab-b=b(a-1). \]
Правая часть: \[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \] Так как \[ x-3=a^2-1=(a-1)(a+1),\qquad x-4=-b^2, \] то \[ x^2-7x+12=-b^2(a-1)(a+1). \]
Получаем: \[ b(a-1)=-b^2(a-1)(a+1), \] \[ (a-1)\bigl[b+b^2(a+1)\bigr]=0. \]
Или: \[ (a-1)b\bigl(1+b(a+1)\bigr)=0. \]
Последний множитель всегда положителен, значит:
\(a-1=0\): \[ \sqrt{x-2}=1 \Rightarrow x=3; \]
\(b=0\): \[ \sqrt{4-x}=0 \Rightarrow x=4. \]
Проверка
При \(x=3\): \[ \sqrt1-\sqrt1=0,\qquad 9-21+12=0. \]
При \(x=4\): \[ 0-0=0,\qquad 16-28+12=0. \]
Ответ: \[ \boxed{x=3,\;4}. \]
Обсуждение
1 сообщениеА не получается ли, что раз √(6х-х^2-8)=√(х-2)√(4-х) То уровнение становится: √(х-2)√(4-х)-√(4-х)=х^2-7х-12 Разве с этими двумя √(4-х) ничего нельзя сделать?
