Реши с 229 по 233 номер

229. Возведите в степень

а) \((bx)^6=b^6x^6\);

б) \((-3x)^4=81x^4\);

в) \((abc)^5=a^5b^5c^5\);

г) \((2a)^5=32a^5\);

д) \(\left(\frac13ab\right)^3=\frac1{27}a^3b^3\);

е) \(\left(-\frac14xy\right)^2=\frac1{16}x^2y^2\);

ж) \((-0,1abc)^3=-0,001a^3b^3c^3\);

з) \((-0,3bcd)^4=0,0081b^4c^4d^4\).

230. Выполните возведение в степень

а) \((cd)^6=c^6d^6\);

б) \((-xyz)^9=-x^9y^9z^9\);

в) \((-6a)^3=-216a^3\);

г) \((-3ab)^4=81a^4b^4\);

д) \((0,2ab)^3=0,008a^3b^3\);

е) \(\left(-\frac17xy\right)^2=\frac1{49}x^2y^2\);

ж) \((-0,3xyc)^4=0,0081x^4y^4c^4\);

з) \((0,3mnp)^3=0,027m^3n^3p^3\).

231. Упростите выражение

а) \[ (-3abc)\left(-\frac13bc\right)^4(12ab)^2 =-\frac{16}{3}a^3b^7c^5; \]

б) \[ \left(\frac17xy\right)^4(-49axy)^2(-2ay)^6 =64a^8x^6y^{12}; \]

в) \[ (-0,1bc)^4(0,2ac)^2(-10abc)^3 =-0,004a^5b^7c^9; \]

г) \[ \left(1\frac17axy\right)^2\left(-\frac78ay\right)^3(-2ax)^5 =28a^{10}x^7y^5. \]

232

Если ребро куба увеличить:

• в \(2\) раза, то площадь поверхности увеличится в \(2^2=4\) раза, объём — в \(2^3=8\) раз;
• в \(3\) раза, то площадь увеличится в \(9\) раз, объём — в \(27\) раз;
• в \(n\) раз, то площадь увеличится в \(n^2\) раз, объём — в \(n^3\) раз.

233

Радиус увеличится в \(1,5\) раза, поэтому площадь поверхности увеличится в

\[ 1,5^2=2,25\text{ раза}. \]

Необходимое количество краски:

\[ 47\cdot2,25=105,75\text{ г}. \]

Ответ: 100 г краски не хватит.

Разберём №231 подробно.

Используем правила:

\[ (xy)^n=x^ny^n,\qquad x^m\cdot x^n=x^{m+n}. \]

а)

\[ (-3abc)\left(-\frac13bc\right)^4(12ab)^2 \]

Возводим каждый множитель в степень:

\[ \left(-\frac13bc\right)^4 =\frac1{81}b^4c^4, \]

\[ (12ab)^2=144a^2b^2. \]

Подставляем:

\[ (-3abc)\cdot\frac1{81}b^4c^4\cdot144a^2b^2. \]

Числовой коэффициент:

\[ -3\cdot\frac1{81}\cdot144=-\frac{16}{3}. \]

Степени букв:

\[ a^{1+2}=a^3,\qquad b^{1+4+2}=b^7,\qquad c^{1+4}=c^5. \]

Ответ:

\[ \boxed{-\frac{16}{3}a^3b^7c^5}. \]

---

б)

\[ \left(\frac17xy\right)^4(-49axy)^2(-2ay)^6 \]

Раскрываем степени:

\[ \left(\frac17xy\right)^4=\frac1{2401}x^4y^4, \]

\[ (-49axy)^2=2401a^2x^2y^2, \]

\[ (-2ay)^6=64a^6y^6. \]

Перемножаем коэффициенты:

\[ \frac1{2401}\cdot2401\cdot64=64. \]

Степени букв:

\[ a^{2+6}=a^8, \]

\[ x^{4+2}=x^6, \]

\[ y^{4+2+6}=y^{12}. \]

Ответ:

\[ \boxed{64a^8x^6y^{12}}. \]

---

в)

\[ (-0{,}1bc)^4(0{,}2ac)^2(-10abc)^3 \]

Возводим множители в степени:

\[ (-0{,}1bc)^4=0{,}0001b^4c^4, \]

\[ (0{,}2ac)^2=0{,}04a^2c^2, \]

\[ (-10abc)^3=-1000a^3b^3c^3. \]

Числовой коэффициент:

\[ 0{,}0001\cdot0{,}04\cdot(-1000)=-0{,}004. \]

Степени букв:

\[ a^{2+3}=a^5, \]

\[ b^{4+3}=b^7, \]

\[ c^{4+2+3}=c^9. \]

Ответ:

\[ \boxed{-0{,}004a^5b^7c^9}. \]

---

г)

\[ \left(1\frac17axy\right)^2 \left(-\frac78ay\right)^3 (-2ax)^5 \]

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

\[ 1\frac17=\frac87. \]

Тогда:

\[ \left(\frac87axy\right)^2 =\frac{64}{49}a^2x^2y^2, \]

\[ \left(-\frac78ay\right)^3 =-\frac{343}{512}a^3y^3, \]

\[ (-2ax)^5=-32a^5x^5. \]

Два отрицательных множителя дают положительный результат:

\[ \frac{64}{49}\cdot\left(-\frac{343}{512}\right)\cdot(-32)=28. \]

Степени букв:

\[ a^{2+3+5}=a^{10}, \]

\[ x^{2+5}=x^7, \]

\[ y^{2+3}=y^5. \]

Ответ:

\[ \boxed{28a^{10}x^7y^5}. \]

231

а)

\[ \begin{aligned} (-3abc)\left(-\frac13bc\right)^4(12ab)^2 &=(-3abc)\cdot\frac1{81}b^4c^4\cdot144a^2b^2\\ &=-\frac{3\cdot144}{81}a^{1+2}b^{1+4+2}c^{1+4}\\ &=-\frac{16}{3}a^3b^7c^5. \end{aligned} \]

б)

\[ \begin{aligned} \left(\frac17xy\right)^4(-49axy)^2(-2ay)^6 &=\frac1{2401}x^4y^4\cdot2401a^2x^2y^2\cdot64a^6y^6\\ &=64a^{2+6}x^{4+2}y^{4+2+6}\\ &=64a^8x^6y^{12}. \end{aligned} \]

в)

\[ \begin{aligned} (-0{,}1bc)^4(0{,}2ac)^2(-10abc)^3 &=0{,}0001b^4c^4\cdot0{,}04a^2c^2\cdot(-1000a^3b^3c^3)\\ &=-0{,}004a^{2+3}b^{4+3}c^{4+2+3}\\ &=-0{,}004a^5b^7c^9. \end{aligned} \]

г)

\[ \begin{aligned} \left(1\frac17axy\right)^2\left(-\frac78ay\right)^3(-2ax)^5 &=\left(\frac87axy\right)^2\left(-\frac78ay\right)^3(-2ax)^5\\ &=\frac{64}{49}a^2x^2y^2\cdot \left(-\frac{343}{512}a^3y^3\right)\cdot(-32a^5x^5)\\ &=28a^{2+3+5}x^{2+5}y^{2+3}\\ &=28a^{10}x^7y^5. \end{aligned} \]

Да, тогда в №230 показатели степени в пунктах ж) и з) равны \(n\):

ж)

\[ \begin{aligned} (-0{,}3xyc)^n &=(-0{,}3)^n x^n y^n c^n. \end{aligned} \]

з)

\[ \begin{aligned} (0{,}3mnp)^n &=(0{,}3)^n m^n n^n p^n. \end{aligned} \]

В пункте з) \(n\) внутри скобок — буква, а верхний \(n\) — показатель степени.