Краткие ответы

109. Упростите выражение:

1. \(4\sqrt[5]{a}-5\);
2. \(\displaystyle \frac{3\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-9}\);
3. \(\displaystyle \frac{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}}{\sqrt[8]{y}}\);
4. \(\displaystyle -\frac1{2\sqrt a}\);
5. \(\displaystyle \frac{2\left(\sqrt[8]{m}+2\right)}{\sqrt[8]{m}}\).

105. Сократите дробь:

1. \(\displaystyle \frac1{\sqrt x+\sqrt y}\);
2. \(\displaystyle \frac1{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}}\);
3. \(\sqrt[6]{a}-1\);
4. \(\displaystyle \frac1{\sqrt a}\);
5. \(\displaystyle -\frac{\sqrt[6]{3a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3}}\);
6. \(\sqrt[3]{x}+2\);
7. \(\displaystyle \frac1{\sqrt x+\sqrt6}\).

---

Развёрнутое решение

№ 109

1)

\[ (\sqrt[5]{a}-1)(\sqrt[5]{a}+1)-(\sqrt[5]{a}-2)^2 \]

Используем формулы разности квадратов и квадрата суммы:

\[ (\sqrt[5]{a})^2-1- \left((\sqrt[5]{a})^2-4\sqrt[5]{a}+4\right). \]

Раскроем скобки:

\[ \sqrt[5]{a^2}-1-\sqrt[5]{a^2} +4\sqrt[5]{a}-4. \]

Сократим подобные слагаемые:

\[ \boxed{4\sqrt[5]{a}-5}. \]

---

2)

Обозначим

\[ t=\sqrt[6]{x}. \]

Тогда

\[ \sqrt[3]{x}=t^2. \]

Получаем:

\[ \frac{t}{t-3}-\frac{t^2}{t^2-9}. \]

Разложим разность квадратов:

\[ t^2-9=(t-3)(t+3). \]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \begin{aligned} \frac{t}{t-3}-\frac{t^2}{(t-3)(t+3)} &=\frac{t(t+3)-t^2}{(t-3)(t+3)}\\ &=\frac{t^2+3t-t^2}{(t-3)(t+3)}\\ &=\frac{3t}{t^2-9}. \end{aligned} \]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[ \boxed{\frac{3\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-9}}. \]

Ограничения: \(x\ge 0,\ x\ne729\).

---

3)

Обозначим

\[ p=\sqrt[8]{x},\qquad q=\sqrt[8]{y}. \]

Тогда

\[ \sqrt[4]{x}=p^2,\qquad \sqrt[4]{y}=q^2,\qquad \sqrt[8]{xy}=pq. \]

Подставим:

\[ \frac{p^2+q^2}{pq+q^2}+\frac{2p}{p+q}. \]

Вынесем \(q\) в первом знаменателе:

\[ \frac{p^2+q^2}{q(p+q)}+\frac{2p}{p+q}. \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \begin{aligned} \frac{p^2+q^2+2pq}{q(p+q)} &=\frac{(p+q)^2}{q(p+q)}\\ &=\frac{p+q}{q}. \end{aligned} \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}}{\sqrt[8]{y}}}. \]

Ограничения: \(x\ge0,\ y>0\).

---

4)

Обозначим

\[ t=\sqrt[4]{a}. \]

Тогда

\[ \sqrt a=t^2,\qquad \sqrt[4]{a^3}=t^3. \]

Исходное выражение:

\[ \left(\frac{t+4}{t-4}-\frac{t-4}{t+4}\right) \cdot\frac{16-t^2}{32t^3}. \]

Вычтем дроби:

\[ \begin{aligned} \frac{t+4}{t-4}-\frac{t-4}{t+4} &=\frac{(t+4)^2-(t-4)^2}{(t-4)(t+4)}\\ &=\frac{16t}{t^2-16}. \end{aligned} \]

Кроме того,

\[ 16-t^2=-(t^2-16). \]

Поэтому

\[ \begin{aligned} \frac{16t}{t^2-16}\cdot \frac{-(t^2-16)}{32t^3} &=-\frac{16t}{32t^3}\\ &=-\frac1{2t^2}. \end{aligned} \]

Так как \(t^2=\sqrt a\), получаем:

\[ \boxed{-\frac1{2\sqrt a}}. \]

Ограничения: \(a>0,\ a\ne256\).

---

5)

Обозначим

\[ t=\sqrt[8]{m}. \]

Тогда

\[ \sqrt[4]{m}=t^2. \]

Получаем:

\[ \frac{2t}{t-2}+ \frac{t+7}{8-4t}\cdot\frac{32}{7t+t^2}. \]

Разложим знаменатели:

\[ 8-4t=-4(t-2), \]

\[ 7t+t^2=t(t+7). \]

Тогда

\[ \begin{aligned} \frac{2t}{t-2} +\frac{t+7}{-4(t-2)}\cdot\frac{32}{t(t+7)} &=\frac{2t}{t-2}-\frac8{t(t-2)}\\ &=\frac{2t^2-8}{t(t-2)}\\ &=\frac{2(t^2-4)}{t(t-2)}\\ &=\frac{2(t-2)(t+2)}{t(t-2)}\\ &=\frac{2(t+2)}t. \end{aligned} \]

Возвращаемся к \(m\):

\[ \boxed{\frac{2\left(\sqrt[8]{m}+2\right)}{\sqrt[8]{m}}}. \]

Ограничения: \(m>0,\ m\ne256\).

---

№ 105

1)

\[ \frac{\sqrt x-\sqrt y}{x-y}. \]

Разложим знаменатель как разность квадратов:

\[ x-y=(\sqrt x)^2-(\sqrt y)^2 =(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y). \]

Сократим общий множитель:

\[ \boxed{\frac1{\sqrt x+\sqrt y}}. \]

Ограничения: \(x\ge0,\ y\ge0,\ x\ne y\).

---

2)

Обозначим

\[ p=\sqrt[8]{x},\qquad q=\sqrt[8]{y}. \]

Тогда

\[ \sqrt[4]{x}=p^2,\qquad \sqrt[4]{y}=q^2. \]

Получаем:

\[ \frac{p-q}{p^2-q^2}. \]

Разложим знаменатель:

\[ p^2-q^2=(p-q)(p+q). \]

Сократим:

\[ \boxed{\frac1{p+q}} = \boxed{\frac1{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}}}. \]

Ограничения: \(x\ge0,\ y\ge0,\ x\ne y\).

---

3)

Обозначим

\[ t=\sqrt[6]{a}. \]

Тогда

\[ \sqrt[3]{a}=t^2. \]

Получаем:

\[ \frac{t^2-1}{t+1}. \]

Разложим числитель:

\[ t^2-1=(t-1)(t+1). \]

Сократим:

\[ \frac{(t-1)(t+1)}{t+1}=t-1. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\sqrt[6]{a}-1}. \]

---

4)

Обозначим

\[ t=\sqrt[4]{a}. \]

Тогда

\[ \sqrt a=t^2,\qquad a=t^4,\qquad \sqrt[4]{a^3}=t^3. \]

Подставим:

\[ \frac{t^2-t}{t^4-t^3}. \]

Вынесем множители:

\[ \frac{t(t-1)}{t^3(t-1)}. \]

Сократим:

\[ \frac1{t^2}. \]

Так как \(t^2=\sqrt a\), то

\[ \boxed{\frac1{\sqrt a}}. \]

Ограничения: \(a>0,\ a\ne1\).

---

5)

Обозначим

\[ t=\sqrt[6]{a},\qquad c=\sqrt[6]{3}. \]

Тогда

\[ \sqrt[6]{9a}=c^2t, \qquad \sqrt[6]{3a^2}=ct^2, \]

а также

\[ \sqrt[3]{a}=t^2,\qquad \sqrt[3]{3}=c^2. \]

Получаем:

\[ \frac{c^2t-ct^2}{t^2-c^2}. \]

Разложим числитель и знаменатель:

\[ c^2t-ct^2=ct(c-t)=-ct(t-c), \]

\[ t^2-c^2=(t-c)(t+c). \]

Тогда

\[ \frac{-ct(t-c)}{(t-c)(t+c)} =-\frac{ct}{t+c}. \]

Возвращаемся к исходным обозначениям:

\[ ct=\sqrt[6]{3a}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{-\frac{\sqrt[6]{3a}} {\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3}}}. \]

Ограничения: \(a\ge0,\ a\ne3\).

---

6)

Обозначим

\[ t=\sqrt[3]{x}. \]

Тогда

\[ x=t^3,\qquad \sqrt[3]{x^2}=t^2. \]

Получаем:

\[ \frac{t^3+8}{t^2-2t+4}. \]

Числитель — сумма кубов:

\[ t^3+8=t^3+2^3=(t+2)(t^2-2t+4). \]

Сократим:

\[ \frac{(t+2)(t^2-2t+4)} {t^2-2t+4}=t+2. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\sqrt[3]{x}+2}. \]

Проверка знаменателя:

\[ t^2-2t+4=(t-1)^2+3>0, \]

поэтому знаменатель не обращается в ноль.

---

7)

В числителе \(+6\) находится вне корня:

\[ \frac{x-\sqrt{6x}+6}{x\sqrt x+6\sqrt6}. \]

Обозначим

\[ t=\sqrt x. \]

Тогда

\[ x=t^2,\qquad \sqrt{6x}=\sqrt6\,t,\qquad x\sqrt x=t^3. \]

Получаем:

\[ \frac{t^2-\sqrt6\,t+6}{t^3+6\sqrt6}. \]

Заметим, что

\[ 6\sqrt6=(\sqrt6)^3. \]

По формуле суммы кубов:

\[ \begin{aligned} t^3+6\sqrt6 &=t^3+(\sqrt6)^3\\ &=(t+\sqrt6)(t^2-\sqrt6\,t+6). \end{aligned} \]

Сократим общий множитель:

\[ \frac{t^2-\sqrt6\,t+6} {(t+\sqrt6)(t^2-\sqrt6\,t+6)} =\frac1{t+\sqrt6}. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ \boxed{\frac1{\sqrt x+\sqrt6}}. \]

Проверка выполнена разложением знаменателя по формуле суммы кубов; ограничения исходной дроби сохраняются.