Номер 1025

Краткий ответ

Округление выполнено до сотых.

• а) \(A=60^\circ,\ B=40^\circ,\ C=80^\circ;\quad a\approx12{,}31,\ b\approx9{,}14,\ c=14.\)
• б) \(A=30^\circ,\ B=75^\circ,\ C=75^\circ;\quad a\approx2{,}33,\ b=4{,}5,\ c=4{,}5.\)
• в) \(A=80^\circ,\ B\approx37{,}99^\circ,\ C\approx62{,}01^\circ;\quad a=16,\ b=10,\ c\approx14{,}35.\)
• г) \(A=65^\circ,\ B=45^\circ,\ C=70^\circ;\quad a=24{,}6,\ b\approx19{,}19,\ c\approx25{,}51.\)
• д) \(A=60^\circ,\ B\approx37{,}32^\circ,\ C\approx82{,}68^\circ;\quad a=10,\ b=7,\ c\approx11{,}45.\)
• е) \(A=B=63^\circ,\ C=54^\circ;\quad a=b=6{,}3,\ c\approx5{,}72.\)
• ж) \(A=87^\circ,\ B\approx36{,}41^\circ,\ C\approx56{,}59^\circ;\quad a\approx53{,}84,\ b=32,\ c=45.\)
• з) \(A\approx54{,}87^\circ,\ B\approx84{,}27^\circ,\ C\approx40{,}86^\circ;\quad a=6,\ b=7{,}3,\ c=4{,}8.\)

Как решать

Обозначения: сторона \(a\) лежит напротив угла \(A\), сторона \(b\) — напротив \(B\), сторона \(c\) — напротив \(C\).

Основные формулы:

\[ A+B+C=180^\circ, \]

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}, \]

\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]

а)

\[ C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ. \]

По теореме синусов:

\[ a=14\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx12{,}31, \]

\[ b=14\cdot\frac{\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx9{,}14. \]

б)

\[ B=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ. \]

\[ a=4{,}5\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin75^\circ}\approx2{,}33. \]

Так как \(B=C=75^\circ\), то \(b=c=4{,}5\).

в)

Сначала найдём угол \(B\):

\[ \sin B=\frac{b\sin A}{a} =\frac{10\sin80^\circ}{16}\approx0{,}6155. \]

\[ B\approx37{,}99^\circ,\qquad C=180^\circ-80^\circ-37{,}99^\circ\approx62{,}01^\circ. \]

\[ c=16\cdot\frac{\sin62{,}01^\circ}{\sin80^\circ} \approx14{,}35. \]

Второе значение для \(B\) не подходит, потому что сумма углов тогда была бы больше \(180^\circ\).

г)

\[ A=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ. \]

\[ b=24{,}6\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin65^\circ} \approx19{,}19, \]

\[ c=24{,}6\cdot\frac{\sin70^\circ}{\sin65^\circ} \approx25{,}51. \]

д)

\[ \sin B=\frac{b\sin A}{a} =\frac{7\sin60^\circ}{10}\approx0{,}6062, \]

\[ B\approx37{,}32^\circ, \qquad C=180^\circ-60^\circ-37{,}32^\circ\approx82{,}68^\circ. \]

\[ c=10\cdot\frac{\sin82{,}68^\circ}{\sin60^\circ} \approx11{,}45. \]

е)

Так как \(a=b\), треугольник равнобедренный, поэтому

\[ A=B=\frac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ. \]

\[ c=6{,}3\cdot\frac{\sin54^\circ}{\sin63^\circ} \approx5{,}72. \]

ж)

Здесь известны две стороны и угол между ними, поэтому применяем теорему косинусов:

\[ a^2=32^2+45^2-2\cdot32\cdot45\cos87^\circ, \]

\[ a\approx53{,}84. \]

Затем:

\[ \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, \qquad B\approx36{,}41^\circ, \]

\[ C=180^\circ-87^\circ-36{,}41^\circ \approx56{,}59^\circ. \]

з)

Все три стороны известны, поэтому используем теорему косинусов:

\[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{7{,}3^2+4{,}8^2-6^2}{2\cdot7{,}3\cdot4{,}8}, \]

\[ A\approx54{,}87^\circ. \]

\[ \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{6^2+4{,}8^2-7{,}3^2}{2\cdot6\cdot4{,}8}, \]

\[ B\approx84{,}27^\circ. \]

\[ C=180^\circ-54{,}87^\circ-84{,}27^\circ \approx40{,}86^\circ. \]

Проверка: в каждом пункте сумма углов равна \(180^\circ\) с учётом округления; большей стороне соответствует больший противолежащий угол.