206

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle x\in(-\infty;3{,}6]\cup[8{,}4;+\infty)\).
2. \(\displaystyle x\in[-2;-1{,}2]\).
3. \(\displaystyle x\in(-\infty;0{,}5)\).
4. \(\displaystyle x\in(-\infty;2]\).

Ключевые шаги

1)
\[ |x-6|\ge 2{,}4 \] Модуль больше или равен числу означает два случая: \[ x-6\le-2{,}4\quad\text{или}\quad x-6\ge2{,}4. \] Отсюда: \[ x\le3{,}6\quad\text{или}\quad x\ge8{,}4. \]

2)
\[ |5x+8|\le2 \] Используем двойное неравенство: \[ -2\le5x+8\le2. \] Вычтем \(8\) и разделим на \(5\): \[ -10\le5x\le-6, \] \[ -2\le x\le-1{,}2. \]

3)
\[ |x+5|-3x>4 \] Точка смены знака под модулем: \(x+5=0\), то есть \(x=-5\).

• При \(x<-5\): \[ -(x+5)-3x>4, \] \[ -4x>9,\qquad x<-\frac94. \] С учётом \(x<-5\) получаем \(x<-5\).

• При \(x\ge-5\): \[ x+5-3x>4, \] \[ -2x>-1,\qquad x<0{,}5. \] С учётом \(x\ge-5\): \[ -5\le x<0{,}5. \]

Объединяем: \[ (-\infty;-5)\cup[-5;0{,}5)=(-\infty;0{,}5). \]

4)
\[ |x-1|+x\le3 \]

• При \(x<1\): \[ 1-x+x=1\le3, \] поэтому подходят все \(x<1\).

• При \(x\ge1\): \[ x-1+x\le3, \] \[ 2x\le4,\qquad x\le2. \] Получаем \(1\le x\le2\).

Итог: \[ (-\infty;1)\cup[1;2]=(-\infty;2]. \]

Проверка границ: при \(x=0{,}5\) в пункте 3 получается равенство \(4>4\) неверно, поэтому точка исключается; остальные граничные точки входят, так как там выполняется равенство в нестрогих неравенствах.